§6. График.

График – является одним из важнейших понятий.

График - это множество пар, т.е. множество, каждый элемент которого является парой, или, по-другому, множество называется графиком, если каждый его элемент есть пара.

Например,

1) множество (пустой график)

2)

Если - произвольное множество, тои любоеявляются графиками.

Рис 1-6.

На рисунках 1-6 изображены графики, являющиеся подмножеством множества

Из этих рисунков видно, что наше понятие графика является обобщением известного из школы понятия графика функции.

Если и- произвольные множества, тои любоеявляются графиками

Областью определения графика называется множество

Областью значений графика называется множество

P

Легко видеть, что если - график, то

или (1)

или и(2)

Операции над графиками.

Введем две операции над графиками.

Одна из этих операций (инверсия графика) будет одноместной; другая (композиция графиков – двуместная).

Инверсия графика определяется через инверсию пары.

Пара называется инверсией пары, если,

Т.о., если , то- инверсия пары

Очевидно, (3)

Инверсией графика называется множество инверсий пар из

- инверсия графика

(4)

(5)

из (3) вытекает, что

Легко видеть, что

, (7)

(8)

т.е. область определения инверсии графика равна области значений графикаи область значений инверсии графикаравна области определения графика.

График называется симметричным, если он наряду с любой своей парой содержит её инверсию, т.е. если .

Примеры:

1)

2)

3)

Легко видеть, что каково бы ни было множество ,является симметричным графиком. Если- произвольный график, тоявляются симметричными графиками.

Выведем одно простое обозначение, которое нам часто будет полезно в дальнейшем.

Пусть - произвольное множество.

Обозначим через множество пар вида, гдепробегает все множество.

Т.о., .

Если , то.

, то

Очевидно, .

Множество является симметричным графиком.иногда называют диагональю множества.

Слово «симметричный» в термине «симметричный график» вызвано следующим.

Легко доказать, что если , то точки на координатной плоскости, изображающие парыи, симметричны относительно прямой. Отсюда вытекает, что графиктогда и только тогда является симметричным графиком, когда соответствующее множество точек на координатной плоскости симметрично относительно прямой. Отсюда вытекает также, что инверсияграфикаполучается зеркальным отражением графикав прямой.

Многие свойства произвольных симметричных графиков легко усматриваются ка координатной плоскости.

Легко видеть, что для графика

- симметричный(9)

- симметричный- симметричный. (10)

Операция композиции.

График называется композицией графикови, еслитогда и только тогда, когда существует такое, чтои.

Переход от графиков к их композициибудем называть компонированием графикови.

Если, например

то

Очевидно,

(11)

Следовательно, для любого графика (12)

Если -произвольное множество и , то(13)

Если композицию графиков сопоставить с умножением чисел, то роль нуля в этом «умножении» будет, в силу (12), играть пустой график , роль, аналогичную роли единицы, в силу (13), - диагональ.

Сходство усиливается свойством (14) – «умножение» графиков ассоциативно.

Легко доказать, что для любых 3-х графиков (14)

(14) верно и для любого (конечного) числа графиков, т.е. можно записать для любой расстановки скобок:

Операции композиции и инверсии связаны следующим равенством:

(15)

(16)

*Композиция произвольного конечного числа графиков есть результат последовательного попарного компонирования графиков при любой расстановке скобок.

Например.

Рассмотрим два свойства графиков.

График называется функциональным, если в нем нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. Функциональный график – это график, не содержащий пар вида:

График называется инъективным, если в нем нет пар с различными первыми и одинаковыми вторыми компонентами.

Инъективный график – это график, не содержащий пар вида:

Пустой график и любой одноэлементный график тривиальным образом функциональны и инъективны.

Если множество содержит более одного элемента, то графикне функционален и не инъективен.

График - инъективен, но не функционален

График - инъективен, но не функционален

Заметим еще, что если график функционален и, то графикфункционален (раз внет «запущенных» пар, то тем более их нет в). Аналогичное утверждение (по той же причине) верно и для инъективности.

Чрезвычайно полезными будут нам в дальнейшем два следующих простых утверждения: композиция функциональных графиков есть снова функциональный график ( по-другому: композиция сохраняет функциональность), композиция инъективных графиков инъективна.

Докажем, например, первое утверждение, а именно: если график - функционален и графикфункционален, то их композиция – графикфункционален.

Используя для этого закон контрапозиции. Докажем вместо сформулированной теоремы равносильное ей утверждение:

если график не функционален, то не верно, что графикфункционален и графикфункционален.

Итак, пусть график не функционален.

Тогда в нем есть пары с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами.

Пусть это будут пары .

Имеем

(1)

(2)

(3)

Из (1) и определения композиции следует, что существует такое , что

(4)

(5)

Аналогично из (2) получаем, что существует такое , что

(6)

(7)

Если , то (3),(5),(7) влекут, что графикне функционален (что противоречит условию ).

Если , то (4),(6) влекут, что графикне функционален (что также противоречит исходному условию теоремы).

Аналогично доказывается, что композиция инъективных графиков инъективна.