§2. Включение. Пустое множество.

О п р е д е л е н и е 5. Множество A называется подмножеством множества В, если каждый элемент подмножества А принадлежит множеству В. В этом случае мы пишем илии говорим, что множествоА содержится в В. Отношение называетсяотношением включения.

Свойства включения.

Из определения следует:

(1)

Очевидно, что из следует, но не обратно. Еслии, тоА – собственное подмножество множества В.

Далее , потому что по определению

, откуда следует, что иА=В в силу аксиомы J.

Отношение включения транзитивно:

(2)

Сумма двух множеств содержит каждое слагаемое:

(3)

Произведение двух множеств содержится в каждом сомножителе:

(4)

В самом деле, из закона , следует, что для каждогоx

и, согласно (1) из §2 , , а, следовательно, по (1).

Второе утверждение в (3) доказывается аналогично.

Для доказательства (4) нужно использовать закон .

Из (2) §2 следует включение

Отношение включения можно определить при помощи отношения равенства и одной из операций .

(5)

В самом деле, если , тодля каждогоx и тогда в силу закона имеем:

, откуда

,

что доказывает, что .

С другой стороны, , значит.

Обратно, если , то, согласно (3),. Вторая частьформулы (5) доказывается аналогично.

Из аксиомы разности (аксиома B §2) следует, что, если существует хотя бы одно множество А, то существует множество А – А, не содержащего ни одного элемента. Такое множество единственно.

В самом деле, если бы было два таких множества , то для каждогоx эквивалентность

была бы истинна, так как оба ее члена ложны. Тогда в силу аксиомыJ.

Единственное множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством ().

Для каждого x

или

Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого x верна импликация.

Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.

Из формулы (1) §2 следует, что

так как . Отсюда заключаем, что, а из закона

.

Равенство означает, что множестваА и В не имеют общих элементов, то есть не пересекаются.

Равенство означает, что.

Роль пустого множества в теории множеств аналогична роли числа нуль в алгебре. Без множества 0 операции умножения и вычитания множеств не всегда были бы выполнимы, что в последствии привело бы к значительным трудностям при вычислениях.

§3. Законы сложения, умножения и вычитания.

Операции сложения, умножения и вычитания множеств имеют много общих свойств с операциями сложения, умножения и вычитания чисел.

В этом параграфе приведем важнейшие из них, а также докажем несколько теорем, указывающих на различие между алгеброй множеств и арифметикой.

Законы коммутативности:

1. (1)

2. 

Эти законы непосредственно следуют из законов коммутативности для дизъюнкции и конъюнкции.

Законы ассоциативности:

1. (2)

2. 

Доказательство основано на законах ассоциативности для дизъюнкции и конъюнкции.

Отсюда следует, что при сложении или умножении конечного числа множеств можно опускать скобки, указывающие порядок действий.

Например: .

Законы дистрибутивности:

1. (3)

2. 

Доказательство основано на законах дистрибутивности для дизъюнкции и конъюнкции.

Например:

Законы идемпотентности:

1. (4)

2. .

Доказательства получаются непосредственно из законов идемпотентности , .

Докажем несколько законов для операции вычитания.

(5)

сравнить:

В самом деле, из формул (1) и (2) §2 следует:

.

Откуда по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции имеем:

.

Поскольку ,сомножитель И можно в произведении опустить. Таким образом получим:

,

что и доказывает формулу (5).

Из этой формулы следует, что вычитание множеств не является операцией, обратной сложению, как в обычной алгебре чисел. Если, например, А — множество четных чисел, а В — множество чисел, делящихся на 3, то множество отличается отВ, потому что оно содержит все четные числа.

Но если , то (согласно (5) и (5) §3), как в арифметике.

Далее,

(6).

⇋

В самом деле:

Закон дистрибутивности умножения относительно вычитания имеет вид:

(7).

Он получается из эквивалентности

.

Из равенства (7) следует, что

.

Законы де Моргана в алгебре множеств имеют вид:

1. 

(8)

2. 

Доказательство основано на законах де Моргана алгебры высказываний.

Приведем без доказательств следующие равенства:

B

A

C

(9)

B

A

(10)

C

B

A

C

(11)

(12)

(13)

(14)

Импликации (12) — (14) иллюстрируют аналогию между отношением включения и отношением «не больше» в арифметике.

Из (14) легко следует:

(15),

которая имеет свой аналог в арифметике:

.