Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Дискретка / Disk-6л Математическая логика. Конспект лекций. ИМИ, 1987г.-63с / Математическая логика.doc

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

I прямой способ доказательство эквивалентности формул a, b.

Фиксируем модель <M,> для формул A,B.

а) Если А И в модели, тоB И в модели, то есть (АB)

б) Если ВИ в модели, то АИ в модели, то есть ВА

Если AB и AB, то А = В (А~В)

то A = B (A ~ B)

При прямом способе можно рассматривать

a) ~ a’) если B Л в модели, то АЛ в модели

б) ~ б’) если А Л в модели, тоB Л в модели

II способ от противного.

При данном способе в логике предикатов предполагаем

A и B принимают не одинаковые значения

а’’) пусть АИ иBЛ в модели

б’’) пусть АЛ иBИ в модели

III способ

Если необходимо опровергнуть эквивалентность некоторых формул. Тогда строится модель <M,> и доказывается, что одна формула истинная, а другая ложная.

Теорема 4. (Рабочие формулы исчисления предикатов)

Если ПОФ B не содержит свободной переменной x, то имеют место следующие эквивалентности :

1) а)(x A(x)) ~(x A(x)) аналоги

б) (x A(x)) ~(x A(x)) законов де Моргана

2) а) (x A(x)&B) ~(x (A(x)&B))

б) (x A(x)&B) ~(x (A(x)&B))

3) а) (x A(x)B) ~ (x(A(x)B)

б) (x A(x)B) ~ (x(A(x)B)

4) а) (x A(x) B) ~ (x A(x)B)

б) (x A(x) B) ~ (x A(x)B)

5) а) (Bx A(x)) ~ (x (BA(x))

б) (Bx A(x)) ~ (x (BA(x))

Доказательство: Возьмем некоторую произвольную модель M, A(x), B.

1. Зафиксируем в формулах все свободные переменные, кроме x. Продемонстрируем прямой способ доказательства эквивалентности.

1. а) (x A(x)) И, тогда x A(x) Л,

x₀ M A(x₀) Л x₀M И (x A(x)) И

(x A(x)) Л, тогда (x A(x)) И

Пусть x₀M A(x₀) И , тогда (x )Л или (xA(x))Л

Докажем п. 4а теоремы

4. Предположим, что модели М в выражении 4а является Л. Тогда

(x A(x)B)И (x A(x)B)Л

^Л

(x₀M A(x)B) Л, тогда A(x) И, ВЛ

^Л

Тогда x A(x) И и (x A(x)B)Л

Рабочие формулы теоремы 4 показывают свойства кванторов.

В логике предикатов, как и в АВ, эквивалентные формулы можно взаимно заменять. При этом все ранее рассмотренные формулы алгебры высказываний входят в исчисление предикатов.

Глава 4. Исчисление предикатов.

В данной главе мы рассмотрим формальный подход к исчислению предикатов. Как и в ИВ, в ИП мы полностью отвлекаемся от содержательной стороны формул и строим.

Основные свойства предикатов доказываются (описываются) с помощью формул.

§1. Аксиомы и правила вывода.

Язык ИП полностью совпадает в языком логики предикатов (гл. 3, §2).

Единственная особенность ИП состоит в том, что мы заранее фиксируем сигнатуру = {P₁ⁿ¹,P₂ⁿ²,…,P_kⁿ^k;c₁,…,c_m}

и в дальнейшем будем пользоваться только этими символами ( исчисление предикатов мы строим только в заданной сигнатуре)

Правила построения ПОФ (гл. 3, опр. 3) остаются в силе. Прежнее толкование имеют связанные и свободные переменные.

ИП содержит бесконечные число аксиом, в каждой их которых образуются по одной из схем I.1-IV.2 ИВ, а также путем добавления ещё двух схем:

аксиомы

В последних двух схемах

A(y) получается из A(x) заменой всех свободных вхождений x на y, а y является свободной переменной для x в исходной формуле A(x).

Рассмотрим примеры (1)

1. x P¹(x) P¹(y) - акс. V.1

2. P1(y) x P1(x) – акс. V.2

3. (x y R²(x,y)) y R²(y,y) не акс., т.к. y не свободна после удаления квантора

4. (x y R²(x,y)) y R²(z,y) – акс.

5. (y Q²(x,y)) xy Q²(x,y) - акс.

^роль^y

Правилами вывода в ИП являются ранее рассмотренные правила МР (модус поненс)

и два новых правила: - правило,- правило

Определение 1: - правило – правило перехода вида

C A(x) дано

────────────────────────

C x A(x) вводится

С – не содержит свободных вхождений переменной x.

-правило – правило вида:

A(x) C дано

────────────────────────

x A(x) C вводится

С – не должна содержать свободных вхождений переменной x.

Формула A – называется доказуемой в ИП, если существует конечная последовательность формул B₁,B₂,…,B_k, называемых выводом, в которой конечная формула B_k есть A, а промежуточные формулы B_j-либо аксиомы, либо получаются из правил вывода в ИП (j=1,…,k)

Факт доказуемости будем обозначать ├ A( A – ПОФ )

Рассмотрим пример. (2)

а) ├(x P¹(x) y P¹(y))

B₁: (x P¹(x) P¹(x)) - акс. V.1.

B₂: (x P¹(x) P1(y)) - - правило к B₁

б) ├ (x P(x) y P(y))

B₁: P(x) x P(y) – акс. V.2.

B₂: x P(x) y P(y) - -правило к B₁

в) B₁: wP³(y,w,y).

B₂: x w P³(x,w,y) y w P³(y,w,y)

-правило нельзя применять к B₁, т.к. в С y – является свободной переменной. Мы вступаем в противоречие с -правилом.

Введем понятие выводимости из гипотез в ИП. Все ранее введенные толкования выводимости смотреть в исчислению высказываний (И.В.)

Определение 2: Пусть A₁,…,A_m есть формулы исчисления предикатов свободными переменными которых являются x₁,…,x_n.

Формула B называется выводимой из гипотез A₁,…,A_m_, если существует конечная последовательность формул B₁,B₂,…,B_k в которой B_k – есть рассматриваемая формула B, а промежуточная формула B_j – либо аксиома, либо одна из гипотез A₁,…,A_m, либо полученная по правилам вывода из предыдущих формул. Причем, -правило и-правило не применяются к переменнымx₁,…,x_n. (j=)

Рассмотрим примеры. (3)

a) y (RP(y)) ├ (Ry P(y))

B₁: y (RP(y)) –гипотеза A₁

B₂: y (RP(y))(RP(y)) -акс. V.1.

B₃: RP(y) MP: B1,B

B₄: R(y P(y))-правило к B₃

B₄ = B

б) x y A(x,y) F A(x,y)

B₁: xy A(x,y) гипотеза A₁

B₂: x, y A(x,y) y A(x,y) - акс. V.1.

B₃: y A(x,y) MP:B₁,B₂

B₄: y A(x,y)акс. V.1.

B₅ = B

На основании примеров 1-3 легко видеть, что ИВ вкладываются в ИП. В частности, все аксиомы ИВ являются аксиомами ИП. Правило МР и другие производные правила ИВ применимы и к ИП. Однако, есть некоторые отличия формулы ИВ образуются из простейших высказываний, а простейшие высказывания в ИП отсутствуют. Однако, роль последних (простых высказываний) играют так называемые нульместные предикаты, то есть предикаты не имеющие переменных. После таких замечаний можно считать что все формулы ИВ переходят в ИП.

Второе отличие ИП от ИВ заключается в ведении новых или дополнительных правил по сравнению с ИВ, в частности, это относится к правилу дедукции (см. теорема 4 ИВ гл. 2). На примере доказательства следующих теорем покажем отличия.

Теорема 1. Если A₁,…,A_m ├B, то A₁,…,A_m-1 F(A_mB)

Доказательство. Со схемой теоремы 1 мы встречались в ИВ(гл.2).

Пусть посылки A₁,…,A_m имеют место: A₁,…,A_m ├ B

B₁,…,B_k – вывод, который позволяет вывести B из A₁,…,A_m

(A_mB₁), (A_mB₂),…,(A_mB_k) (1)

т.к. B_k совпадает с B, то в выражении (1) последняя формула – искомая. Следовательно, для доказательства теоремы достаточно дополнить выражение (1) несколькими формулами так, чтобы получился вывод

A₁,…,A_m_-1├ (A_mB).

Произведем индукции по i (i =)

i = 1, (A_mB₁)

B₁ – аксиома или одна из гипотез A₁,…,A_m

Тогда в этих случаях поступаем так же, как при доказательстве теоремы 4 главы 2 ИВ. При этом заметим -правило и-правило на этом шаге не применяются. Поэтому все свободные переменные из формулA₁,…,A_m остаются свободными и в рассматриваемом выражении (A_mB₁)

i < j, A_mB_i

Предположим, что формула (A_mB₁),…,(A_mB_j_-1) из выражения 2 дополнена до вывода, причем -правило и-правило не применялись к переменным свободным в формулахA₁,…,A_m

i = j, A_m B_j

а) Если B_j – есть аксиома или гипотеза, то вывод ├ (A_m B_j) получается такая же, как ├ (A_mB_j)

б) Пусть B_j получается путем применения МР: B_k, B_q, где k,q<j

Тогда B_q должно иметь вид:

B_q = (B_kB_j)

A_mB_k (*)

A_m(B_kB_j) (**)

Формулы (*),(**) выводимы из A₁,…,A_m_-1.

Тогда имеем:

((A_mB_k)((A_m(B_kB_j)) (A_mB_j))) акс. I.2.

((A_m(B_kB_j)) (A_mB_j)) MP: (1), (*)

(A_mB_j ) MP: (2), (**)

в) B_j получается с помощью -правила

B_k (CA(x)),

B_j (Cx A(x)).

В выражении C x – связанная переменная.

По определению 2 при выводе B₁ из A₁,…,A_m -правило и-правило не применялись к переменным свободных в исходных формулахA₁,…,A_m, поэтому переменная x не свободна в формулах A_m, C.