§6. Отношение порядка

1. отношение называется отношением нестрого порядка (нестрогим порядком), если оно транзитивно, рефлексивно и антисимметрично, (ab)

2. отношение называется отношением совершенного нестрогого порядка (совершенно нестрогим порядком), если оно связано и является отношением нестрогого порядка.

3. отношение называется отношением строгого порядка (строгим порядком), если оно транзитивно и антирефлексивно (a<b).

4. отношение называется отношением совершенного строгого порядка (совершенным строгим порядком), если оно связано и является отношением строгого порядка.

Порядки	Транзи тивное	Рефлек сивное	Антирефлек сивное	Антисим метричное	Связанное
Нестрогия	+	+		+
Совершенно нестрогий	+	+		+	+
Строгий	+		+	(+)
Совершенно строгий	+		+	(+)	+

Инверсия отношение нестрого порядкаи сужениеотношение нестрого порядка<Ф, М> на любое подмножество А множества М также являются отношениями нестрогого порядка.

Аналогичные утверждения верна для совершенного нестрогого, строгого и совершенного строгого порядка.

Примеры

1. xy x<y, (x, y

2. D)

- совершенно строгий порядок.

Так же для (x, y R, x, y С,x, y N) – совершенно строгий порядок

3. xyx

4. y (x, y D) – совершенно нестрогий порядок.

5. Аналогично, если x, y R, С, N.

Связь между отношениями нестрогого порядка и строгого порядка на множестве М.

1. Если <Ф, М>- нестрогий порядок на М, то <Ф\, М> - строгий порядок на М;

2. Если <Ф, М>- строгий порядок на М, то <Ф, М> нестрогий порядок на М.

Соответствие, соотносящее произвольному нестрогому порядку <Ф, М> на множестве М отношение <Ф\, М > , будет биекцией.

3. Если <Ф, М>- совершенно нестрогий порядок на М, то <Ф\, М > - совершенно строгий порядок на М.

4. Если <Ф, М> - совершенный строгий порядок на М, то <Ф, М> - совершенный нестрогий порядок на М.

Связь этих соответствий через биекцию.

Т е о р е м а (о зависимости между отношением совершенного строгого порядка на конечном множестве и перестановками над тем же множеством).

Между множеством R отношений совершенного строгого порядка на конечном множестве М и множеством перестановок над множеством М можно установить такое взаимное – однозначное соответствиеf <F, R,

>, что ()()() [xy в f(

) y стоит правее, чем x].

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. М. – Л. Гостехиздат, 1948.

2. Айзерман М.А. и др. Логика. Автоматы. Алгоритмы. М. Физматгиз, 1963, - 556с.

3. Галушкин А.И. и др. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики. М. Высшая школа. 1974. – 413с.

4. Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. М. Физматгиз, 1962. - 476с.

5. Поспелов. Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем. М. Энергия, 1968. – 228с.

6. Успенский В.А. Лекции о вычислимых функциях. М. Физматгиз, 1960.-492с.

7. Чёрч А. Введение в математическую логику, т1, М., ИЛ., 1960.-484с.

8. Шихонович Ю.А. Введение в современную математику. М. 1965. – 376с.

37