§2. Операции над отношениями.

I-ый вид операций.

На отношения переносятся общие операции над множествами.

Пусть ,

а)Соединением (объединением) отношений иназывается отношение на множестве М, график которого равен соединению графиков отношенийи. (9).

Если известно, что и- отношения на одном и том же множестве, то определение (9) можно записать так:(10)

Очевидно, (11).

б) Пересечением отношений иназывают отношение на множестве М, график которого равен пересечению графиков отношенийи.

(12).

Очевидно, (13).

в) Разностью отношений иназывают отношение на множестве М, график которого равен пересечению графиков отношенийи.

(14).

Очевидно, (15).

Для отношений большое значение имеет частный случай разности – операция дополнения.

г) Дополнением к отношению называют отношение на множестве М, график которого равен дополнению графика отношениядо М².

(16).

Очевидно, (17).

Если - полное отношение на множестве М, то для любого отношенияна М(18)

С другой стороны, очевидно (19).

На отношение (на одном и том же множестве) автоматически переносятся все «тождества с множествами». Например,

Второй вид операций над отношениями.

На отношения переносятся операции над графиками.

I) Инверсией отношения называют отношение на множестве М, график которого есть инверсия графика отношения, т.е.

(20).

Очевидно, (21).

Например, отношение наD является инверсией отношения наD.

.

II) Композицией отношений , называют отношение на множестве М, график которого равен композиции графиков отношенийи.

(22).

Очевидно, (23).

III) На отношения (на одном и том же множестве) автоматически переносятся все «тождества с графиками». Например,

Под композицией отношенийна одном и том же множестве М понимается результат последовательного попарного компонирования отношенийпри любой расстановке скобок.

Подчеркнём, что все операции над отношениями применяются к отношениям с одной и той же областью задания и в результате применения операции снова получается отношение с той же областью задания.

Отметим, что для любого отношения на множестве М(24)

Будем говорить, что отношение влечёт (или имплицирует) отношениеи будем писать, если:

(25).

Очевидно, (26)

Введём «операцию», меняющую область задания отношений.

Пусть - отношение на множестве М и.Сужением отношения на множество А называется и через обозначается отношение вида(27)

Т.е. (28).

Например,

, ,,.

§3. Основные свойства отношений.

А) Отношение называетсярефлексивным, если

(1).

Очевидно, отношение

рефлексивно тогда и только тогда, когда (2), т.е. все точки диагонали принадлежат графику отношения.

Отношение называется антирефлексивным, если (3)

Или (4).

Очевидно, отношение антирефлексивно тогда и только тогда, когда(5).

Т.е когда ни одна точка диагонали не принадлежит графику отношений.

График рассматриваемого отношения

В) Отношение называетсясимметричным, если

(6).

(область значений переменных , кванторы опущены).

Очевидно, отношение симметрично тогда и только тогда, когда его графиксимметричен или(7).

Для дальнейшего заметим, что определение (6) равносильно, как это ни странно на первый взгляд, определению (8).

Отношение называетсяантисимметричным, если (9).

Или (10).

Из (10) следует, что отношение антисимметрично, когда(11).

Определение (9) можно представить по-другому (12).

С) Отношение называется связанным, если (13), т.е. (14).

D) Отношение называется транзитивным, если (15), т.е. отношение транзитивно, когда(16).

Отношение транзитивно, когда(17).

Введённые выше 6 свойств будем называть основными свойствами отношений.

Очевидно,

1. Если отношение обладает каким-то из основных свойств, то его инверсиятакже обладает этим свойством.

2. Если отношение обладает каким-то из основных свойств и, то и сужениеотношенияна множество А также обладает этим свойством.