Т е о р е м а о графике обратной функции.

Если g< Y,Y,X> является обратной для , то:

1) Y =H^-1, где H – график сужения h функции f на область значений пр₂ Y функции g.

2. g=h^-1.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Поскольку h^-1=< H^-1,Y,X>. Второе утверждение вытекает из первого. Докажем первое утверждение. По определению сужения

H=F∩( пр₂ Y ×Y) (15)

откуда

H^-1=F^-1∩( Y ×пр₂ Y) (16)

Т.е. в силу (16) нужно доказать

Y =F^-1∩( Y ×пр₂ Y) (17)

Пусть Y. По (8) . Поскольку Y , , Y.

Следовательно, Y,

Y).

Пусть, обратно, Y).

Тогда и Y.

Следовательно, и Y.

По определению проекции множества существует такое с, что Y. Из (8) . В силу функциональности графикаF, a=c. Значит, Y.

Пример 1:

У

- инверсияf(x) (не есть функция)

Х

Пример 2:

- инъекция. - функция

У

Х

§5. S-местная функция.

Пусть .

Функция f называется S-местной (двух, трёх и т.д.), если её область отправления состоит из …… длины S.

(1)

Обычно так записывают S – местную функцию.

Для любого множества М произвольная функция типа является примеромS-местной функции.

Функции типа называют иногдаS-местными функциями типа . Употребляя этот термин, следует помнить, что любая S-местная функция типа является (при)S-местной функцией, но не является функцией типа .

Нульместная функция типа имеет либо вид, где, либо вид.

Как и функции типа ,S-местные функции типа можно задавать при помощичисловых форм или чисел. Пусть, например, -S-местная числовая форма с числовыми переменными .

Тогда выражение (2) обозначаетS-местную функцию типа с графиком.

Аналогичный смысл имеет выражение (3).

Задавая ту же функцию (2), оно одновременно вводит для неё имя f. Выражение (4) задаётS-местную функцию типа , однако чтобы эта функция была вполне определена, нужно ещё фиксировать тем или иным способом (например, перенумеровав) порядок переменных в формеU.

Пример 1: Выражения (5)

и (6)

задают одну и ту же функцию типа . Если в формепорядком переменных считать алфавитный порядок, то выражение (7)

задаёт ту же функцию (5).

Если же в этой форме переменных считать обратный порядок , то значение функции (7) на тройке <2,3,5> будет уже равно, а не.

Пусть S – натуральное число. Отображение множества вназываетсяS-местной (алгебраической) операцией на М. S-местная операция на М – это всё равно, что всюду определённая S-местная функция типа .

Одноместную операцию на М называют унарной, (unus – один).

Двухместную операцию на М называют бинарной, (bini – два).

Трёхместную операцию на М называют тернарной.

Пример 2: Сложение и умножение являются двухместными операциями на каждом из множеств N, C, R, D, K. Разумеется, сложение на N и сложение на C являются разными операциями, т.к. сложение на N – это тройка вида < Y , а сложение на С – это тройка вида. С другой стороны,Y .

Пример 3: Вычитание является двухместной операцией на каждом из множеств C, R, D, K, но не является операцией на N, т.к. при разностьвN не определена.

Пример 4: Деление не является операцией ни на одном из множеств R, D, K ввиду невозможности деления на 0, однако деление является двухместной операцией на каждом из множеств

Пример 5: Для любого множества М ,, \ можно считать двухместными операциями на, операцию дополнения – одноместной операцией на.

Пример 6: Для любого множества М композицию графиков можно считать двухместной операцией на , а инверсию графика – одноместной операцией на.