Примеры: 1)

Эти выражения задают одну и ту же

функцию типа

2)

Задают одну и ту же константную

функцию типа

2=3

3) (x[2,3])

(2x3) Задают сужение

(x[2,3]) функции на множество

(2x3)

4) Является нигде не определённой функцией типа

5)

Тождественная функция типа

6)

Функция тождественно на (0;+∞), но не является тождественной функцией.

(стрелочка означает, что её «конец», т.е. точка <0,0> не принадлежит графику).

(иногда обозначают координату где функция не существует

)

7)Функция константна на (0;+∞) и (-∞,0), но не является константной функцией:

8. Если f – функция типа , тоf(x), f(2x), f(3x-5), f(sin x) – числовые формы.

Поэтому выражения

задают функцию типа

Иногда функции типа на разных участках области определения приходится задавать разнымичисловыми формами.

Пусть A₁,…,A_n- попарно не пересекающиеся подмножества множества D;

U₁(x),…,U_n(x) – одноместные числовые формы с числовой переменной x.

Тогда выражения

(49)

(50)

(51)

обозначают функцию типа с графиком, где.

Задание функции по схемам (49)-(51) называется кусочным заданием.

Пример: 9)

Функция на [-2,-1] не определена.

Пусть f и g функции типа . Согласно теореме о значении композиции, композицияфункцийf и g может быть задана формой .

Т.о., выражения

задают функцию

Это справедливо и для большого количества функций

задают функцию

Пример: 10) Функция композиция функций

11. В тех же обозначениях функция равна, а функцияравна.

Указанный способ задания функций типа годится и для общего случая.

Пусть , - одноместная форма, значениями которой являются элементы множества .

Тогда выражения обозначают функцию типас графиком.

Задачи.

1. Чему равно число нижеуказанных функций типа , если

, :

а) отображений? .

§4. Обратная функция.

Рассмотрим предварительно некоторые свойства инверсии .

Пусть - произвольная инъекция. Тогда в силу критерия функциональности инверсии (§1)- функция.

Отметим три свойства функции :

1) - инъекция. (1)

2) - тождественно на пр₁ (2)

3) - тождественно на пр₂ (3)

Д о к а ж е м (2):

Пусть пр₁ . Требуется доказать, что или в силу теоремы о значении композиции. Т.к.пр₁ , то .

Пусть , т.е.. Значит. Следовательно,. Итак,.

(3) доказывается аналогично.

Кроме того, поскольку и пр₂ = пр₁ , то (3) следует прямо из (2).

Пусть - произвольная функция. Обязательно ли существует также функцияg типа , чтотождественна на пр₁ (4)

Легко видеть, что требуемая функция g существует тогда и только тогда, когда f – инъекция.

На вопрос: Обязательно ли существует также функция g типа , чтотождественна на пр₂ (5) можно ответить: в отличие от (4) требуемая функция g, существует всегда, для любой функции f.

Из этих двух возможностей (4) и (5) ответим на вопрос, какую функцию g типа стоит называть обратной дляf функций.

Пусть f – произвольная функция типа . Функцияg типа называетсяобратной для функции f, если:

во-первых, её область определения равна области значений функции f;

во-вторых, функция тождественна на области значений функцииf.

Итак, g_Df=<Y,Y,X> является обратной для , если выполняется два условия: пр₁ Y =пр₂F (6)

тождественно на пр₂F (7).

Отсюда вытекают следующие свойства:

Y (8)

пр₂ Y пр₁ F (9)

тождественна на пр₂ Y (10)

g – инъекция (11).

Д о к а ж е м, например, (10).

Пусть aпр₂ Y. По определению проекции множества существует такое b, что <b,a> Y. По (8) <b,a>F^-1 и <a,b>F. Из <a,b>F следует f(a)=b.

Из <b,a> Y следует g(b)=a. Следовательно, .

Остальные доказательства – аналогично.

В математической практике «обратность» обратной функции чаще всего используется в виде следующих простых свойств:

(12)

&пр₂ Y (13)

Эти свойства являются фактически переформулировкой свойств (7), (10).

Однако утверждение всегда

(14)

в общем случае не верно.

Например, .

Пусть график функции f типа задаётся так:

- график функции g.

Тогда функция g является обратной для функции f и , но не верно, что.

Рассмотрим вопросы существования и единственности обратной функции.

1. Выше, доказывая, что для любой функции f существует функция g со свойством (5), мы доказали фактически, что для любой функции f существует обратная функция, т.к. построенная там функция …… областью определения пр₂F, а (5) совпадает с (7).

2. Функция, обратная для функции f, единственна тогда и только тогда, когда f – инъекция.

Если f – инъекция, то её единственной обратной функцией g является функция .

Если f – не инъективна, то у неё обязательно существует больше одной обратной функции, причём различные её обратные функции отличаются областью значений.

Для того чтобы задать функцию g, обратную для функции , достаточно задать такое подмножествопр₁F, которое для каждого пр₂F содержит один и только один прообраз пр₁F относительно f. Тогда пр₂ Y =A. g< Y,Y,X>.