§2. Основные свойства функции.

1. Функция f <F, X, Y> называется нигде не определенной, если F=0. Условимся говорит, что функция f <F, X, Y> определена на множестве А, если АпрF, т.е. если (xА)[!F(x)]. В частности, очевидно, любая функция а определена на 0.

2. Функция f <F, X, Y> называется тождественной, если Y=X и F=, т.е.I= f =<,x, x> - тождественная функция.

Условимся говорить, что функция f <F, X, Y> тождественна на множестве А, если F, т.е. если (xA)[f(x)=x].

Функция I тождественна на всей области отправления X. Очевидно, любая функция тождественна 0.

III. Функция f <F, X, Y> называется константной, если существует такой элемент bY, что F=X{b}.

Условимся говорить, что функция f <F, X, Y> константа на множестве А,

если (yY)[A{y}F]т.е.

если (yY) (xA)[f(x)=y].

IV. Функция f <F, X, Y> тогда и только тогда является всюду определенной, когда (xX)[! f(x)].

Согласно введенной выше терминологии, всюду определенная функция f <F, X, Y> определена на X.

Всюду определенная функция называется также отображением, а всюду определенную функцию типа XY – отображением множества X в множество Y.

Тождественная функция I является, очевидно, отображением.

Отображение I называется так же тождественным отображением множества X на себя.

Константная функция так же, очевидно, является отображением (константное множество).

Если функция f является отображением, то значение f(a) (функции f на а) называется так же образом элемента а при отображении f.

V. Функция f <F, X, Y> тогда и только тогда сюръективна, когда (yY)( xX)[f(x)=y].

Сюръективную функцию мы будем называть сюръекцией.

Термины «всюду определенная сюръекция», «сюръективное отображение» означает функцию, одновременно всюду определенную и сюръективную.

Сюръективное отображение типа XY называют так же отображением множества X на Y.

Тождественное отображение I является сюръекцией.

VI. Функция f <F, X, Y> тогда и только тогда инъективна, когда

xx f (x)f(x) (15)

или, по контропозиции f (x)=f(x)x=x (16)

Инъективную функцию мы будем называть инъекцией. Термины «всюду определенная инъекция», «инъективное отображение» означает функцию, одновременно всюду определенную и инъективную. Тождественное отображение I и любая нигде не определенная функция является инъекцией.

VII. Функция f <F, X, Y> тогда и только тогда биективна, когда она всюду определена, сюръективна и инъективна. Термины «биективное соответствие между множествами X и Y», «взаимно – однозначное соответствие между множествами X и Y», «биективная функция типа XY»,

«биекция типа XY», «взаимно – однозначное отображение множества X на множество Y» означает одно и тоже.

Иногда, желая сказать, что f – биекция типа XY, говорят «функция f устанавливает взаимно – однозначное соответствие между множествами X и Y».

Тождественное отображение I множества X на себя является биекцией.

Пусть f <F, X, Y> - произвольная функция.

Инверсия f=<F, Y, X> соответствия f не обязана быть функцией.

Из ранее доказанного (§ 2, гл. V) соответствия для произвольного соответствия Г: Г- функцияГ – инъективное. Вытекает простое, но важное утверждение:Критерий функциональности инверсии: Инверсия f функция f тогда и только тогда является функцией, когда функция f – инъективна.

Если f <F, X, Y> - произвольная функция, то для любого многочлена А:

f(A) = {yY| (xA)[f(x) = y]} (17)

f(A) = {xX| (yA)[f(x) = y]} (18)

Вместо (18) можно написать:

f(A) = {xX| f(x) A} (19)

Если b Y, то элемент aX называется прообразом элемента b относительно функции f, если f(a)=b.

Из (19) следует, что f({b})={xX| f(x)=b} (20)

Полный прообраз множества {b} относительно функции f есть множество прообразов элемента b относительно f.

Аналогичное утверждение верно и для произвольного множества.