§2. Основные свойства соответствия

1. Соответствие Г<Y,X,Y> называется функциональным соответствием или функцией, если его график Y функционален, т.е.

(x₁)(x₂)(y₁)(y₂)[< x₁, y₁>Y & < x₂, y₂>Y & x₁= x₂&y₁y] (1)

В одной точке (x) только одно значение y

Используя равносильности для кванторов можем высказывание (1) преобразовать ((x)U(x)(x) U(x)).

(x)(x)(y)(y)[&

][

()](x)(x)(y)(y)[

] (2).

Или, используя, контрапозицию высказывания (AB=BA):

(x)(x)(y)(y)[< x, y>Y & < x, y>Y & yyxx](3).

Высказывания (1)-(3) можно заменить на равносильные, но более простые высказывания:

(x)(y)(y)[<x, y>Y & <x, y>Y yy] (4)

(x)(y)(y)[<x, y>Y& <x, y>Y y= y] (5).

2. Соответствие Г<Y, X, Y> называется инъективным, если его график Y инъективен, т.е. (x)(x)(y)(y)[< x, y>Y & < x, y>Y& xx& y= y] (6).

Такого не может быть.

Высказывание (6) равносильно каждому из следующих высказываний (ср. с 1-5):

(x)(x)(y)(y)[< x, y>Y & < x, y>Y & y=yx=x] (7).

(x)(x)(y)(y)[< x, y>Y & < x, y>Y & yyxx] (8).

(x)(x)(y) [<x, y>Y & < x, y>Y & xx] (9).

(x)(x)(y) [<x, y>Y & < x, y>Y x=x] (10)

3. Соответствие Г<Y, M, M> называется всюду определенным, если его область определения совпадает с его областью отправления, т.е.

прY= X (11)

Легко видеть, что совпадает Г всюду определено тогда и только тогда, когда (x)( y) [<x,y>Y] (12).

4. Соответствие Г<Y, M, M> называется сюръективным, если и его область значения совпадает с его областью прибытия, т.е. если

прY=Y (13).

Соответствие Г сюръективно тогда и только тогда, когда

(y)( x) [<x,y>Y] (14).

5. Соответствие Г<Y, X, Y> называется биективным соответствиям, или биекцией или взаимно – однозначным соответствием, если оно функционально, инъективно, всюду определено и сюръективно.

Примеры I-V.

I.

- Функциональное соответствие

II.

- Инъективное соответствие

III.

Соответствие всюду определено (отражение X в Y)

IV.

- Сюръективное соответствие

(отображение X наY)

V.

- Биективное соответствие

Если среди соответствий между множествами X и Y существует взаимно – однозначные соответствия, то говорят, что между множествами X и Y можно установить взаимно – однозначные соответствия.

Для того чтобы доказать, что заданными между множествами X, Y можно установить взаимно – однозначные соответствия, нужно задать (или доказать, что существует) такой график YXY, чтобы тройка <Y, X, Y> был биекцией.

Если мы каждому элементу множества X поставим в соответствие один элемент множества Y, то получим некоторый график Y XY, причем соответствие <Y, X, Y> будет уже всюду определенным («каждому») и функциональным («один»).

Если нам удастся затем доказать, что в построенном нами соответствии разный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует хотя бы одному элементу множества X, будет доказано, что наше соответствие вдобавок инъективно («разный … разные») и сюръективно («каждый») и, следовательно, биективно.

При доказательстве биективности построенного соответствия («каждому элементу множества X ставиться в соответствии один элемент множества Y») два из четырех свойств: всюду определенность и функциональность можно уже не проверять. Они обеспечиваются автоматичеки, сами построением, а дается нам извне, в готовом виде, то проверять надо все четыре свойства.

Введенные выше 5 свойств (I-V) мы будем называть основными свойствами соответствий.

Из доказанного в § 5 гл. III следует, что для любого соответствия Г:

Г- инъективноеГ – функция, (15)

Г- функцияГ – инъективно. (16)

Очевидно также (см. §1), что

Г- сюръективноеГ – всюду определенное, (17)

Г- всюду определенноеГ– сюръективное. (18)

Из (15) – (18) следует, что

Г- биекцияГ- биекция.

Таким образом, если между множествами X и Y можно установить взаимно – однозначное соответствие, то между множествами Y и X тоже можно установить взаимно – однозначное соответствие.

Из доказанного в § 5 гл. III следует, что композиция функций есть функция и композиция инъективных соответствий инъективна.

Аналогичные утверждения для произвольных всюду определенных, сюръективных и биективных соответствий не верны.

Например, если не пустые множества Y и Z не пересекаются (Y0, Z0, YZ=0) и Г<Y, Y, Y>, <Z, Z, Z>, то Г и всюду определны и не сюръективны, а Г= <0,Y, Z> не всюду определено и не сюръективно.

Если, однако область прибытия соответствия Г совпадает с областью отправления соответствия

(важнейший для практики случай) и соответствия Г, всюду определно, но и их композиция Гвсюду определена.

Аналогичное утверждение верно (при указанном выше достаточном условии) также для сюръективных и, следовательно, биективных соответствий.

Таким образом, если между множеством X и Y можно установить взаимно – однозначное соответствие и между множествами Y и Z можно установить взаимно – однозначное соответствие, то между множествами X и Z тоже можно установить взаимно – однозначное соответствие.

Между множествами X и X, очевидно, всегда можно установить взаимно – однозначное соответствие. Примером такого соответствия является биекция <,X, X>, в которой каждому элементу aX соответствует а и только а.

Если X и Y - конечные множества (=m, =n), то между множествами X и Y тогда и только тогда можно установить взаимно - однозначное соответствие, когда m=n , причем при этом условии различных взаимно – однозначных соответствий между X и Y существует P=n! .

Примеры взаимно – однозначных соответствий