Глава I. Введение в математический язык

§ 1. Логические союзы

Введём термин «Высказывание». Высказываниями мы будем называть такие предложения, про которые разумно говорить, что они являются истинными или ложными.

Пример: 1. Фраза «Если все стороны треугольника равны, то этот треугольник является равносторонним»- высказывание (истинное).

2. «Москва- столица СССР»- высказывание (истинное).

3. «Сарапул-столица УАССР»- высказывание (ложное).

4. Фраза «Пойдёшь ли ты в кино?»- не является высказыванием.

Заметим, что часто употребляемое в математике «Утверждение» является синонимом термина «Высказывание». Слово «Теорема» почти равнозначно в математике словам «Утверждение», «Высказывание» и употребляется вместо них преимущественно в тех случаях, когда соответствующее предложение надо доказать.

Подчеркнем, что высказывания бывают истинные и ложные, причём каждое высказывание истинно или ложно.

1. Условимся составное высказывание вида « А или В» где А и В- высказывания, считать ложными в тех случаях, когда оба высказывания А и В ложны. Во всех остальных случаях, высказывание «А или В» будем считать истинным.

Пример: 1. Высказывание «2>3 или 5-четное число»-ложное.

2. Высказывание «2<3 или 5- нечётное число»-истинное.

На языке логики союз «или» обозначается V поэтому высказывание «А или В» можно записать «А V В».

2. Условимся составное высказывание вида «А и В», где А и В- высказывания, считать истинным в тех случаях, когда оба высказывания А и В истинны. Во всех остальных случаях высказывание вида «А и В» будем считать ложным.

Пример: 1. Высказывание «2<3 и 4 –четное число» - истинно.

2. Высказывание «2<3 и 5 – четное число» - ложно.

На языке математической логики союз и - &. «А&В».

3. Условимся составное высказывание вида « Если А, то В», где А и В-высказывания, считать ложным только в том случае когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно. Во всех остальных случаях и , в частности, высказывание « Если А, то В» с ложным А и любым В – в силу нашего соглашения истинно.

Пример: 1. Высказывание «Если 2І=5, то 3І=9» – истинно.

2. Высказывание «Если 2І=4, то 3І=10» -ложно.

На языке математики союз «если …., то …» обозначается «А→В».

В дальнейшем о высказываниях вида « Если А, то В» с ложным А будем говорить, что они истинны тривиальным образом, т.е. истинны не в силу внутренней, содержательной связи между высказываниями А и В, а вследствие нашего понимания союза «если …., то ….». Как отличает В.А. Успенский: «Нередко применяемые в расчете на внешний эффект формулировки вроде « из лжи следует всё, что угодно» или « если 2∙2=5, то существуют ведьмы» надлежит воспринимать как тривиальные следствия из соглашений об употреблении слов «если …., то» и «следует», облечённые в нарочито парадоксальную форму.»

Истинность высказывания « Если А, то В» выражает также словами: из А следует В, из А вытекает В, А вытечет В.

4. Возьмём два высказывания А и В и составим из них теорему

Если А, то В (1)

В теореме вида (1) высказывание А называется условием, или посылкой, высказывание В – заключением. Образуем теперь из высказывания А, В еще три теоремы:

Если В, то А, (2)

Если не А то не В, (3)

Если не В, то не А. (4)

«Союз не» ┐(-) «если ┐А, то В». (~)

Теоремы (1), (2) (и, соответственно, теоремы (3), (4)) называются взаимно обратными теоремы: теорема (2) – это теорема, обратная теореме (1), и наоборот, теорема (1) – теорема, обратная теореме (2). Вопрос, который иногда задают – какая из теорем, обратная теореме (1), (2) «прямая», и какая «обратная» - не имеет смысла: термины «обратная теорема» нет; есть термин «теорема обратная данной теореме».

Теоремы (1), (3) (и, соответственно, теорема (2), (4)) называются взаимно противоположными теоремами: теорема (1) – теорема противоположна теореме (3), теорема (3) – теорема, противоположная теореме (1).

Зависимость между теоремами (1) – (4).

1). Взаимно обратные теоремы (1), (2) (и, соответственно теоремы (3), (4)), а также взаимно противоположные теоремы (1), (3) (и, соответственно, теоремы (2), (4)) почти не зависят друг от друга: истинность любой из них не влечёт ни истинности, ни ложности другой теоремы; слово «почти» поставлено потому, что некоторая небольшая зависимость между вышеуказанными теоремами всё – таки есть: они не могут быть одновременно ложными.

2). Однако теоремы (1), (4) (и соответственно, и ложность) любой из них автоматически влечёт истинность (соответственно – ложность) другой теоремы. Теоремы (1), (4) равносильны. Это утверждение:

Теорема Теорема

Если 2І=5, то 3І=9

«0→1»=1

Если не 3І=9, то не 2І=5

«┐1→┐0»

«0→1»=1

Если 3І≠9, то 2І≠5

называется законом контрапозиции. Докажем его.

Доказательство.

2.1) Допустим, что теорема (1) истинна. Докажем, что в этом случае и теорема (4) истинна. Предположим противное: предположим, что теорема (4) ложна. Но это (в силу понимания союза «есть …, то») означает, что её условие «не В» истинно, а её заключение «не А» ложно, т.е. что В ложно, а А истинно, но это противоречит истинности теоремы (1). Таким образом, допущение о ложности теоремы (4) привело нас к противоречию. Следовательно, теорема (4) истинна.

2.2) Допустим теперь, что теорема (4) истинна. Докажем, что тогда и теорема (1) истинна. Рассуждая опять от противного, предположим, что теорема (1) ложна, т.е. А – истинно, а В ложно. Следовательно «не А» ложно, а «не В» истинно, что противоречит истинности теоремы (4). Закон контрапозиции доказан.

5) Очень часто встречается такая ситуация, когда обе взаимно обратные теоремы (1), (2) истинны. Для сжатой словесной передачи этого факта в математике употребляются «парные» союзы: «необходимо и достаточно» и «тогда и только тогда».

Таким образом, каждое из высказываний:

Для того, чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В (5)

А тогда и только тогда, когда В (6)

означает: истинны обе взаимно обратные теоремы (1), (2). Предложения (5), (6) часто для краткости будем записывать в виде АВ.

6) Хотя и редко, но всё же «половины» этих «чёрных» союз: «необходимо», «достаточно», «тогда», «только тогда»- иногда употребляются отдельно. Поэтому полезно знать, какой именно из двух взаимно обратных теорем (1) или (2) – соответствует употреблению каждого из этих союзов.

Теорема (2) – А тогда, когда В (достаточность). (7)

Так уславливаются употреблять союз «тогда». Действительно стоит, лишь теорему (7) высказать в виде: «когда В, тогда А», как это соглашение становится вполне естественным.

Теорема (1) – «А только тогда, когда В» (необходимость). Употребление союза «только тогда» означает теорему (1).

Итак имеем: « А тогда и только тогда, когда В »

Теорема (2) – «Для того, чтобы А, достаточно, чтобы В». – «если В, то А»

Теорема (1) – «Для того, чтобы А, необходимо, чтобы В». – «если А, то В».

Для доказательства теоремы (5) нужно, в силу вышесказанного, доказать теорему (1) и теорему (2). Поэтому доказательство теоремы (5) естественно распадается на 2 части. Одну из этих частей называют «Необходимость», другую – «Достаточность». В соответствии с указанными выше смыслом союзов «необходимо» и «достаточно» «необходимостью» называют ту половину доказательства теоремы (5), в которой доказывается теорема (1), «достаточностью» - теорема (2).

7). Слова «необходимо» и «достаточно» входят также в термины «необходимое условие», «достаточное условие». Высказывание А называют необходимым условием (следствие) для В, если истинна теорема (2) [«если В, то А»].

Высказывание А называют достаточным условием (условие) для В, если истинна теорема (1)[«если А, то В»]. Заметим, что в то время как достаточное условие для В естественно назвать «условием», так как из него вытекает В, необходимое условие для В приятнее было бы называть следствием, так как не из него следует В, а оно следует из В. В силу принятых выше соглашений произвольное ложное высказывание является достаточным условием для любого высказывания В, произвольное истинное высказывание является необходимым условием для любого В.

8). Укажем на несколько специфический смысл союза «если», стоящего в определении. Рассмотрим, например, определение четного числа: «целое число называется четным, если оно делится на 2». Из этого определения автоматически вытекают две взаимно обратные теоремы:

1. «Если целое число – четное(А), то оно делится на 2»;

2. «Если число делится на 2(В), то оно четное», а следовательно , и теорема «целое число тогда и только тогда является четным, когда оно делится на 2». Таким образом, «если» в определении означает приблизительно то же, что и «тогда и только тогда».

Заметим, что теорема не обязана, разумеется, иметь вид (1). Термины: «условие» («посылка»), «заключение», «обратная теорема», «противоположная теорема» были введены нами для теории вида (1) и только к ним применимы.