- •Глава I Введение в математический язык
- •Глава I. Введение в математический язык
- •§ 1. Логические союзы
- •§2. Переменная
- •§3 Равенство
- •Глава II. Основные понятия теории множеств
- •§1. Множества. Равенство и включение множеств.
- •Обозначения для множеств.
- •§2. Подмножество.
- •§3. Операции над множествами
- •Глава III. Кортеж.
- •§1. Кортеж (упорядоченные системы элементов).
- •§2. Декартово (прямое) произведение множеств.
- •§3. Комбинаторика.
Калядин
Н.И. Основы дискретной математики.
Конспект
лекций:
Учебно-методическое
пособие – Ижевск: Изд-во ИМИ, 1979г. –
135с. -
Лекции были прочитаны автором в 1975 – 1985гг. студентам, аспирантам, инженерам - исследователям на кафедре «Прикладной математики» в Ижевском механическом институте.
Пособие предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей, изучающих дискретную математику по специальностям 230101, 230401, 075500, а также всем заинтересованным в изучении и применении компьютерной математики на современном уровне.
Компьютерный набор и верстка выполнены студентами:
Татаркин М.А.
Байгильдин А.А.
Лыткин А.С.
Юрлов А.М.
Оглавление.
Предисловие.
6
6
11
18
21
21
26
28
31
31
33
36
39
48
55
63
63
70
74
83
83
95
101
101
104
107
117
125
125
129
132
134
Глава I Введение в математический язык
§1. Логические союзы
§2. Переменная11
§3. Равенство
Глава II Основные понятия теории множеств
§1. Множества. Равенство и включение множеств.
§2. Подмножество.
§3. Операции над множествами.
Глава III. Кортеж.
§1. Кортеж (упорядоченные системы элементов).
§2. Декартово (прямое) произведение множеств.
§3. Комбинаторика.
§4. Комбинаторные задачи.
§5. Проекция.
§6. График.
Глава IV. Алгебра логики.
§1. Высказывание.
§2. Высказывательная форма.
§3. Кванторы.
Глава V. Соответствие.
§1. Соответствие.
§2. Основные свойства соответствий.
Глава VI. Функция.
§1. Функция.
§2. Основные свойства функций.
§3. Теоремы о композициях.
§4. Обратные функции.
§5. S-местные функции.
Глава VII. Отношение.
§1. Отношение.
§2. Операции над отношениями.
§3. Основные свойства отношений.
§4. Разбиение.
134
136
138
140
§5. Отношение эквивалентностей.
§6. Отношение порядка.
ЛИТЕРАТУРА.
Предисловие.
Люди издавна стремились понять истину в природе, ведя об этом многочисленные споры. Отсюда и появилось крылатое выражение «В спорах рождается истина». Людей, которые вели спор, в древности называли философами. Но в этих спорах придерживались определённых правил, так называемых правил логики.
Логикой называется наука о законах и формах мышления. Основоположником её является древнегреческий учёный Аристотель (IV век до н.э.). Математическая логика, называется также теоретической или символической, есть часть обей логики, в которой законы мышления выражаются формулами аналогично тому, как в алгебре выражаются правила действия с числами.
Идея математической логики впервые была высказана немецким математиком и философом Лейбницем в XVII веке. «Философ- человек, умеющий вести спор». Лейбниц утверждал, что придёт время, когда философы будут устанавливать истину в спорах путём математических доказательств. Но систематическое её развитие началось только с середины XIX века с опубликования английским математиком Дж. Булем работы «Математический анализ логики» (1847).
Новый этап в развитии математической логики начался в 20-х годах нашего века, когда немецкий математик Д. Гилберт разработал теорию математического доказательства, теорию формального построения математических наук.
В настоящее время математическая логика имеет большое как теоретическое, так и практическое значение, она широко применяется в вычислительной математике и в теории автоматов; составляет основу современной математики и кибернетики.
Понятие множества является одним из простейших, одним из первоначальных понятий математики. Начала теории множеств были разработаны немецким математиком Г. Кантором в 70-х годах XIX века.
Теория множеств и матлогика составляют основу современной математики и кибернетики.
Изучение теории множеств и матлогики позволит решить следующие задачи:
Овладеть современными математическими методами исследований самых различных наук- от биологии до лингвистики.
Овладеть «Математическими языком»- языком основных математических понятий, столь общих, что с их помощью могут быть выражены многие факты действительности.
Овладеть минимумом математических сведений, нужных для того чтобы:
А) Можно было самостоятельно применять современный математический аппарат к широкому кругу исследуемых явлений
Б) Можно было самостоятельно читать литературу по применениям математики к изучаемой области знания.
В) Можно было самостоятельно заниматься повышение своей математической квалификации (культуры).
Математические методы исследования неизбежно начинаются с- явного или неявного- уточнения языка.
Причём главное в этом языке- не системы дифференциальных уравнений (которые суть уже «вторичные» образования, так сказать, высшие этажи), а прежде всего фундамент, язык начальных понятий.
Уточнение научного языка является на самом деле важной проблемой, не получившей еще, к сожалению, должного признания. Между тем эта проблема имеет не только научное, но совершенно практическое значение: например, применение математических методов в экономике в значительной степени затруднено именно недостаточной разработанностью языка описания экономических явлений и т.п.
С уточнением языка тесно связано повышение культуры мышления, чего настоятельно требуют интересы науки и народного хозяйства. В объём понятия «Высокая культура мышления» входит умение мыслить формально. Формальное мышление не следует смешивать с неумением мыслить неформально, содержательно; формальное мышление- не нехватка чего-то, а особое искусство. К изучению этого искусства с помощью теории множеств и матлогики мы и приступим.