§5. Проекция.

Введем еще одну операцию над множествами – операцию проектирования.

В отличие от ранее введенных операций, эта операция будет одноместной: она будет применяться не к двум множествам, не к парам множеств, а к одному отдельно взятому множеству.

Кроме того, эта операция не всегда, не к любому множеству будет применена: она будет применима только к множествам картежей одинаковой длины.

Подчеркнем, что проекция проекция множества определяется через проекцию картежа.

Определим понятие «проекция картежа». Определение будет многоступенчатым.

I. Пусть - картеж длиныs > 0.

1) Пусть

Проекцией картежа на-ю ось называется и черезобозначается-я компонента картежа, т.е.Т.о.

2) Пусть ;

Проекцией картежа на оси с номераминазывается и черезобозначается картеж. Т.о.:

3) Проекцией картежа на пустое множество осей называется и черезобозначается пустой картеж, т.о.:

II.

Проекцией пустого картежа на пустое множество осей называется и черезобозначается пустой картеж. Т.о.

Определения 3 и II можно, конечно, объединить.

Проекцией произвольного картежа (пустого или нет) на пустое множество осей называется и черезобозначается пустой картеж. Т.о., для любого картежа, в том числе и для пустого, имеет место (3).

Если, например, то 1)2)

Выражение смысла не имеет и ничего не обозначает.

Выражения илитакже смысла не имеют.

Отметим еще, что для данного примера:

И вообще, если - картеж длины, то

Определим теперь понятие «проекция множества».

Как уже было указано выше, это понятие нами будет определено только для того случая, когда проектируемое множество состоит из картежей, причем все эти картежи имеют одинаковую длину. Хотя мы вынуждены определить понятие проекции множества по столь же многоступенчатой схеме, как и понятие проекции картежа, суть его неформально выразить очень коротко: проекция множества - это множество проекций картежей из.

Дадим теперь формальное определение.

I. Пусть - множество картежей длины.

1) Пусть

Проекцией множества на-ю ось называется и черезобозначается множество проекций картежей изна-ю ось.

2)

Пусть и

Проекцией множества на оси с номераминазывается и черезобозначается множество проекций картежей изна оси с номерами.

Проекцией множества на пустое множество осей называется и черезобозначается множество проекций картежей изна пустое множество осей.

Пусть - множество картежей длины 0, т.е. множество пустых картежей (это не означает, что)

Проекцией множества на пустое множество осей называется и черезобозначается множество проекций картежей изна пустое множество осей.

Как и выше определение I-3 и II можно объединить.

Проекцией произвольного множества картежей длинына пустое множество осей называется и через

Обозначается множество проекций картежей из на пустое множество осей.

Согласно нашему словопониманию, пустое множество является множеством картежей длины 0, множеством картежей длины 1, множеством картежей длины 2 и т.д.

I случай.

Поэтому для любого натурального числа осмысленно выражение;

Для любых натуральных чиселтаких, что, осмыслено выражение;

Осмысленно также выражение .

Легко видеть, что, грубо говоря,

Точнее

Рассмотрим второй крайний случай: проекцию на пустое множество осей.

Очевидно, что, если , то

В частности, когда - не пустое множество картежей длины 0, т.е., также.

(см (4)). Если же , то(см (7))

Итак

В равенстве (7) «скрещиваются» оба крайних случая (и оси - пусты)

Пример.

1)

2)

Выражение смысла не имеет и ничего не обозначает! (т.к. нужен, где)

Не верно, в частности, что .

Выражения итакже смысла не имеют.

Отметим еще, что

И вообще, если - множество кортежей длины, то

Если , то выраженияи т.д. смысла не имеют, т.к. понятие проекции множества определялось у нас только для того случая, когда проектируемое множество состоит из кортежей одинаковой длины.

Если и, то

Разумеется не верно, что

Отметим еще такое тривиальное утверждение:

Аналогично – для проекций на одну ось:

Пусть - произвольное множество,. Тогда множествосостоит из картежей длиныи, следовательно, его можно проектировать.

Легко видеть, что для любого натурального числа такого, что

Для любых натуральных чиселтаких, что

Например

1)

2)

В тех же обозначениях:

- множество действительных чисел