Для доказательства (4) докажем импликацию:

при фиксированном (5)

Пусть имеем

Тогда

, что и требовалось доказать.

А так как -произвольные, то (4) справедлива, а значит справедливо и выражение (0).

Пример:

1.

2.

3.

II. - число перестановок над произвольнымn-элементным множеством

Например:

Очевидно: .

где - число-элементных подмножеств произвольного- элементного множества

§4. Комбинаторные задачи. Перейдем к комбинаторным задачам.

В комбинаторной задаче обычно требуется подсчитать, выразить формулой число элементов некоторого конечного множества

Главным методом решения такой задачи является метод установления взаимно-однозначного соответствия между данным иследуемым множеством и некоторым вспомогательным множеством, число элементов которого уже известно

Что такое взаимно-однозначное соответствие?

Если каждому элементу множества поставлениы в соответствие, соотнесен один элемент множестватак, что при этом:

1. разным элементам множества поставлены в соответствие разные элементы множества

2. каждый элемент множества поставлен в соответствие хотя бы одному элементу множества, то говорят, что между множествамииустановлено взаимно-однозначное соответствие.

Очевидно, что если между двумя конечными множествами иудалось установить взаимно – однозначное соответствие, то число элементов множестваравно числу элементов множества

Т.о. если мы сумеем установить взаимно-однозначное соответствие между данным множеством , число элементов которого ищется, и вспомогательным множеством, число элементов которого известно (скажем, равноt), то мы решим поставленную задачу, найдем число элементов множества : оно будет тоже равноt.

Решим 2 задачи, имеющие для комбинаторики самостоятельный интерес.

Задача 1.

Пусть имеется r (различных) объектов (элементов): иr (не обязательно различных) целых неотрицательных чисел:

Обозначим через (ПЭ-протяже частичное)

- число картежей, имеющих в качестве компонент:

(это так называемые «перестановки с повторениями»)

Т.о., каждый из картежей, число которых мы хотим сосчитать,

имеет длинну

Докажем, что

Решение:

Докажем сначала индукцией по , что

а затем, что

При r = 1 (базис инструкции) правая часть формулы дает

но очевидно, что число картежей, имеющих в качестве компонент,раз – элемент,равно 1 (такой картеж один: это либо пустой картеж, если=0, либо картеж)

Т.о., при r = 1 утверждение (2) справедливо.

Допустим (предположение индукции), что утверждение (2) верно для некоторого , и докажем, что оно верно дляr + 1, т.е. что число картежей, имеющую в качестве компонент,

может быть найдено также по закону (2)

Итак, нам надо доказать, что

Чтобы воспользоваться предположением индукции, «отщипим» от правой части (4) первый множитель. Тогда равенство (4), которое нам надо доказать перепишется в виде:

Но по предположению индукции верно (2), следовательно, (5) можно переписать в виде:

Вот в виде-то (6) мы и будем доказывать равенство (4)

Если , т.е., утверждение (6) очевидно

Пусть Обозначим через– множество картежей, имеющих в качестве компонент,

Т.о., картежи из А имеют длину

Согласно нашим обозначениям, число элементов множества , т.е. картежей, равно

Пусть

Множество содержитэлементов. Элементы множествамы будем ниже интерпретировать как номера компонент картежей из

Обозначим через D множество - элементных подмножеств множества. Согласно нашим обозначениям, множествоD имеет: элементов.

Обозначим, далее, через множество картежей, имеющих в качестве компонент,

Т.о., картежи из имеют длинуСогласно нашим обозначениям, число элементов множестваравно

Положим, наконец, Как известно, число элементов этого множестваесть

Установим взаимно-однозначное соответствие между множествами и. Этим равенство (6) будет доказано.

Возьмем произвольный картеж . Поставим ему в соответствие пару, где- множество номеров тех компонент картежа, которые равны, а- картеж, который получается извыбрасыванием всех элементови стягиванием, с сохранением взаимного порядка, остальных элементов.

Если, например, и

то

Очевидно,

1. Итак, мы каждому элементу множества поставили в соответствие один элемент множества

2. Докажем теперь, что разные элементы множества соответствуют (при нашем соответствии) разным элементам множества

Пусть ,и. И даже, пусть картежусоответствует впри нашем соответствии пара, картежу- пара

Докажем, что . Если

Пусть теперь Докажем что тогда

Так как и картежиимеют одинаковую длину, по крайней мере одна из компонент картежаотлична от компоненты картежас тем же номером.

Обозначим через любое такое число, что-я компонента картежаотлична от-й компоненты картежа

Так как ,-я компонента как каретжа, так и картежаотлична от. Поскольку в картежахлевые и правые-е компоненты одинаковые число элементов, а на-х местах стоят разные элементы, отличные от,

3. Докажем, наконец, что каждый элемент множества поставлен нами в соответствие хотя бы одному элементу множества

Пусть . Тогда картежу, у которого на местах в номерами изстоит, а на местах с номерами ихстоят в том же порядке компоненты картежа, соответствует, очевидно, по нашему закону именно. Равенство (6), а значи т и (2) доказано.

Докажем теперь утверждение (3). При доказательстве мы будем опираться на следующие свой ства оператора

I. (свойство дроби)

II. (свойство произведения)

III. (свойство вычисления последнего или первого элемента)

IV. (изменение пределов оператора)

Итак, доказательство (3).

Пример. Пусть

Тогда

Задача 2. «Распределение по ящикам».

Пусть имеется r ящиков и r (не обязателдьно различных) целых неотрицательных чисел

Пусть имеется также (различных) предметов.

Пусть в 1 ящик можно поместить предметов

Пусть во 2 ящик можно поместить предметов

Пусть в r ящик можно поместить предметов

Найдем число распределений всех данных предметов поящикам. При этом два распределения считаются, естественно различными, если хотя бы один из данных предметов при одном из этих распределений находится в одном ящике, а при другом из этих распределений – в каком то другом ящике. Оказывается искомое число равно

Решение.

Надо ввести какие-то объекты и установить взаимно-однозначные соответствие между множествомраспределенийпредметов поящикам вместимостью соответсвенно,и множествомкартежей, имеющих, в качестве компонент,

раз – элемент

раз – элемент

раз – элемент

В качестве объектов возьмем числа. Пронумеруем данные предметы числами

(ящики условием задачи уже предполагаются перенумерованными).

Возьмем произвольное распределение . Поставим ему в соответствие такой картеждлиныпод, у которого-я компонента равнатогда и только тогда, когдапредмет при распределениинаходится вящике. Очевидно,. Далее очевидно также, что если, то для соответствующих картежей

Можно видеть, что произвольный картеж соответствует в нашем соответствии такому распределению, при котором-й предмет находится в-м ящике тогда и только тогда, когда-я компонента картежаравна(поскольку, число, например, 1 имеется вв катчестве компоненты равнораз, и аоэтому ровнопредметов попадут при распределениив первый ящик и т.д.).

Многие комбинаторские задачи укладываются в «схему» двух выше разобранных задач.

Например. Число раздач 36-карточной колоды четырем игрокам по 6 карт, равно, очевидно, числу распределений 36 карт по 5 ящикам вместимостью соответственно 6, 6, 6, 6 и 12 (пятый ящик – оставшиеся карты), т.е. равно

- ящики

- предметы