§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.

Пусть - некоторое фиксированное множество,- функция произвольного числа переменных, каждое из которых пробегает какое-нибудь семейство подмножеств множества.

Для простоты изложения будем считать, что - функция 2-х переменных, т.е. областью её определения является декартово произведение . Семействоназывается замкнутыми относительно, если

.

Теорема 1. Для каждого семейства существует такое семейство, что

1. ,

2. Семейство замкнуто относительно операции,

3. Семейство - наименьшее из семейств, обладающих свойствамиa) и b), т.е. если для выполнены условия

, , (1)

то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - множество всех семейств, для которых выполняется (1)., т.к.. Искомым семействомбудет произведение.

Семейство , обладающее свойствами a) – c), определяется однозначно. Действительно, еслиобладает этими свойствами, то из минимальности семейства(свойствоc)) получает . Аналогично,, т.к.также обладает свойствомc). Следовательно, , мы будет обозначать этосемейство.

Теорема 2. Для произвольных семейств ,,выполняются следующие условия:

1. ,

2. ,

3. .

Д о к а з а т е л ь с т в о. I) Следует из теоремы 1 (свойство a)). II) следует из того, что замкнуто относительнои содержит, значит, в силу минимальности. Для доказательстваIII заметим, что из условия I следует , с другой стороны, замкнуто относительно, поэтому .

.

Теорема 1 и теорема 2 имеют свои аналоги для случая, когда дана не одна функция , а произвольное семейство таких функция, и- наименьшее семейство, содержащееи замкнутое относительно всех функций. Областями определения этих функций могут быть последовательности подмножеств или даже семейства подмножеств множества. Мы не будет останавливаться на этих обобщениях.

Пример 1. Пусть - обозначает сложение множеств, т.е.. Наименьшее семейство множеств, содержащееи замкнутое относительно, обозначим символом. Это семейство состоит из конечных сумм вида, где,и- последовательность множеств, принадлежащих, т.е..

Аналогично, если функция задаётся равенством, то наименьшее семейство, содержащееи замкнутое относительно, обозначим символом. Это семейство состоит из произведений вида, где,,.

Пример 2. Решеткой множеств, порождённой семейством , назовем наименьшее семейство, содержащееи замкнутое относительно обеих операций,из примера 1.

Теорема 3. Решетка множества, порождённая , совпадает с семейством, причем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем вначале вторую часть теорема, т.е. .

Пусть , т.е., где,идля.

Докажем индукцией по , что. Дляимеем, а, т.к.. Предположим, что теорема верна для.

Пусть - произведение, где,идля. Обозначим. По предположению индукциии, значит,, где,идля.

Т.к. , то.

Поскольку , получаем отсюда, что. Таким образом,. Аналогично доказывается обратное включение.

Теперь докажем, что - решетка множеств, порожденная множеством. Ясно, что семействосодержится в этой решетке, т.к. операции сложения и умножения не выводят нас из решетки. С другой стороны,

,

следовательно, семейство замкнуто относительно операций сложения и умножения и потом содержит решетку, порождённую.

§4. - аддитивные и- мультипликативные семейства множеств.

Семейство множеств называется- аддитивным (соответственно- мультипликативным), если(соответственно) для каждой последовательности.

Из теоремы 1, теоремы 2 (§3), обобщающих на случай функций, определенных на последовательностях множеств, вытекают следующие две теоремы.

Теорема 1. Для каждого семейства существует наименьшее- аддитивное и- мультипликативное семейство, содержащее.

Теорема 2. Для любых семейств ,,:

(1)

(2)

(3)

Выполняя операции ина последовательностях, члены которых принадлежат, мы получаем множества, принадлежащие. Это позволяет произвести классификацию множеств, принадлежащих: для произвольного семейства множествобозначим черезсемейство множеств вида, где, и черезсемейство всех множеств вида, где. Очевидно, что.

Можно определить - аддитивное семейство как такое семейство, для которого, а- мультипликативное как такое, для которого. Т.к. семействои- аддитивно и- мультипликативно, то

,

а т.к. , то справедлива теорема.

Теорема 3. Семейство содержит в качестве подмножеств каждое из семейств

Вообще говоря, никакие два из этих семейств не совпадают; кроме того, они не исчерпывают всего семейства .

Опишем теперь метод, позволяющий решить, принадлежит ли данное множество, определенное при помощи высказывательной функции, семейству .

Пусть - высказывательная функция, переменныепробегают множество. Положим,, где каждый из символовобозначает либо квантор всеобщности, либо квантор существования.

Теорема 4. Если для произвольных множествопринадлежит, то.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу кванторов.

1) Если , тои тогдапо условию.

2) Если теорема верна для квантора, то каждое из множествпринадлежит. Если- квантор существования, то, а если- квантор всеобщности, то. В обоих случаяхи теорема доказана.

Наиболее интересный пример семейства получим если в качествевозьмём семействозамкнутых множеств произвольного топологического пространства. В этому случаеназывается семейством борелевских множеств пространства.

Пример. Докажем, что множество предельных точек последовательности непрерывных функций есть множество типа .

Для этого запишем условие Коши сходимости последовательности вещественных чисел ,, …,,…:

Отсюда видно, что множество предельных точек последовательности непрерывных функций,, ...,f_n, …, имеет вид:

Полагая

,

получаем

.

Т.к. (при фиксированных индексах) замкнуто (это следует из непрерывности рассматриваемых функций), тоесть множество типа .