§2. Операции на бесконечных последовательностях множеств.

Здесь вы рассмотрим один частный случай, когда область определения функции совпадает с, т.е. функцияпредставляет собой бесконечную последовательность множеств. По аналогии с рядами и бесконечными произведениями вещественных чисел будем писать:

, или , иливместо;

, или , иливместо.

Из формул (2) §1 непосредственно получаем:

(1)

где - высказывательная функция 2х переменных, причем множество значений первой переменной () ограничено множеством, и второй () – некоторым множеством.

Кроме операций бесконечного сложения и умножения, рассмотрим ещё операции:

1) - верхний предел последовательности

(ср. - наименьшая верхняя грань);

2) - нижний предел последовательности

(ср. - наибольшая нижняя грань).

Легко видеть, что элемент тогда и только тогда, когда он принадлежит бесконечному числу множеств, итогда и только тогда, когда он принадлежитдля почти всех значений, т.е. для всех, кроме конечного числа.

Очевидно, что в силу (18) §1, гл. II:

(2)

Если знак включения в (2) можно заменить знаком равенства, т.е. если верхний и нижний пределы совпадают, то их общее значение обозначают и называют пределом последовательности, а саму последовательность называют сходящейся.

Терминология эта аналогична терминологии, которой пользуются в теории вещественных чисел. Чтобы подчеркнуть эту аналогию, введем понятие характеристической функции данного множества.

Пусть дано 1 и . Характеристической функцией множестваназывается функция

(3)

Легко видеть, что для сходимости последовательности множеств (являющихся подмножествами данного множества 1) необходимо и достаточно, чтобы последовательность характеристических функций этих множеств сходилась к характеристической функции множества.

Понятие сходимости последовательности множеств обнаруживает очень интересные аналогии с классическими понятиями сходимости числовых последовательностей, если симметричную разность – двух множеств рассматривать как модуль разности двух чисел. Докажем, что условия

(4)

(4')

равносильны. В самом деле, условие (4) означает, что элемент принадлежитне более чем для конечного числа значений. Другими словами, для каждогосуществует такоеn₀ что из следует

(5)

Пусть , т.е.для бесконечного числа значений. Из (5) следует, чтоидля всех, т.е.. Таким образом, из (4) следует

, (6)

откуда в силу (2) получаем (4').

Обратно, если выполнено условие (6) и , то. Значит, для . Если же, тои тогдадля. Таким образом, из (6) следует, что (5) выполняется для каждогои.

Докажем ещё несколько более специальных правил, относящихся к перестановке символов и, и замене двух подряд идущих операцийилиодной такой операцией.

Пусть функция определена на множестве, функция- на множествеи- на множестве, причем значениями этих функций являются множества. Будем пользоваться символикой, введенной в §3, гл.III.

; . (7)

Докажем только первое из этих равенств, т.к. 2-е доказывается аналогично.

Очевидно, что , поэтому. С другой стороны, если, тодля каких-то,, а тогда, где.

Справедлива также формула

(8)

В самом деле, , поэтому, откуда в силу произвольностиполучаем

.

Если , то для каждогосуществует такое, что.

Полагая , получаем, следовательно.

Тем же методом, что и (7) можно доказать равенства

(9)

Далее

(º10)

В самом деле, , поэтому, откуда.

Для доказательства обратного включения возьмём и положим далее. Т.к.для каждого, то существует функция выборадля семейства всех множеств. Полагая, получаем, чтоидля каждого.

Из т.7 (§3, гл. III) следует, что существует такая последовательность , чтодля каждого. Тогдадля каждого, т.е.

.

Выведем теперь из (7) – (10) формулу:

, (º11)

которая нам пригодится в гл. X.

Здесь - функция 4-х переменных, определенная на декартовом произведении , а значениями её являются множества.

Заменяя в равенстве (º10) на(где- произвольная, но фиксированная последовательность), получаем

.

Таким образом, левая часть равенства (11) равна . С помощью (7) и (9) получаем из этого выражения правую часть равенства (11).