Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения.

В этой главе, как и в предыдущих, мы берем за основу систему аксиом ∑º, причем теоремы не помеченные знаком º, не зависят от аксиом выбора.

Цель настоящей главы – обобщить операции сложения, умножения и декартова умножения на произведение семейства множеств.

§1. Бесконечные суммы и произведения.

Пусть - функция, значениями которой являются подмножества некоторого фиксированного множества, а область её определения – непустое множество. ()

Тогда . Вместомы будем писать.

Пусть - множество значений функций, т.е. семейство множеств, когдапробегает все.

Сумма множеств будет обозначать, а произведение -, т.е.

,

Очевидно, что

, (1)

Если состоит только из одного элемента, то

.

Если же состоит из 2х элементови, то

, .

Таким образом, рассматриваемые здесь понятия обобщают понятия суммы и произведения множеств на случай произвольного семейства слагаемых.

Из (1) вытекают равенства:

(2)

Справедливые для каждой высказывательной функции 2х переменных (с ограниченной областью определения).

В самом деле, полагая , получаем, поэтому:

2-е равенство в (2) доказывается аналогично.

Используя (1) и формулы, характеризующие кванторы, §1 гл.II, получаем следующие законы для обобщённых операций:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

, (9)

(10)

, (11)

, (12)

. (13)

Все эти законы непосредственно следуют из соответствующих законов §1, гл. II. Докажем, например, закон де Моргана (8):

Для доказательства использованы следующие формулы:

(2) §2, гл. I: ,

.

(5) §1, гл. II:

Диаграмма, приведенная в гл.II, §1, позволяет получить дополнительные законы для бесконечных операций. Для этого достаточно знак импликации заменить знаком включения, а функциюзаменить функцией 2-х переменных , значениями которой являются множества.

В частности, получаем следующую важную формулу:

(14)

Вообще говоря, знак включения здесь нельзя заменить обратным (см. (18) гл.II, §1).

Теорема 1. Сумма - единственное множество, удовлетворяющее условиям

(15)

(16)

Произведение - единственное множество, удовлетворяющее условиям

(15')

(16')

Другими словами, сумма является наименьшим множеством, содержащим все множества, а произведение- является наибольшим множеством, содержащимся в каждом из множеств .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3) и (13) следует, что сумма удовлетворяет условиям (15) и (16). Если какое-то множество удовлетворяет этим условиям, то из (15) и (13) непосредственно следует, что. Подставляяв (16) и используя (3), получаем, что.

Но т.к. по условию теоремы должно быть единственным, то.

Доказательство для произведения аналогично.

Теорема 2 (Обобщённые законы ассоциативности). Если , где- функция с областью определения, значениями которой являются множества (т.е.), то

, (17)

(18)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая и,

представим (17) в виде:

(19)

Имеем для каждогои, в частности, для каждого, откуда по теореме 1.

Обратно, пусть для производного. Для каждогосуществует такое, что, откудаи, значит,. Т.к. это верно для любого, то. Применяя теорему 1 получаем (19). Равенство (18) доказывается аналогично.

Теорема 3 (обобщенные законы коммутативности). Если - перестановка множества, то

(17')

(18')

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем (17'). Пусть . Если, то. А т.к.для. Обратно, если- такое множество, чтодля всех, то, поскольку. Отсюда, а это и значит, что- наименьшее множество, содержащее все множества, т.е.. Равенство (18') доказывается аналогично.

Теорема 4 (обобщённые законы дистрибутивности).

Если и, то

(20)

(21)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и. По определению семействамножество, т.е. существует. Согласно (3). Т.к. это верно для любого(но фиксированного), то в силу теоремы 1 имеем:

.

Т.к. произвольно, то, согласно (3),

(22)

Для того, чтобы доказать обратно включением, возьмём

(23)

Положим

(24)

Если , то, согласно (23),. Значит, существует такое, что. Поэтому, откуда. По определениютогда. Из (24) следует, что, т.е.и

(25)

Таким образом, мы показали, что для произвольных a из (23) следует (25), т.е.

Отсюда в силу (22) имеем равенство (20).

Для доказательства (21) заменим в (20) на, где:

Применяя законы де Моргана (8) и (9) и формулу , получаем (21).

Теперь обобщим формулы (1) – (4), §7, гл. II, характеризующие образы и прообразы конечных сумм и произведений, на бесконечные суммы и произведения.

Теорема 5. Пусть и. Тогда

(26)

(27)

Если - взаимно однозначная функция, то знак включения в (27) можно заменить знаком равенства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения образа получаем , откуда следует равенство (26).

Аналогично, используя (18) (§1, гл. II), получаем для (27):

и что т.д.

Если - взаимно однозначная функция, то, применяя (27) к обратной функциии множествамполучаем

Откуда в силу (2) (§7, гл. II):

Т.к. обратное включение (27) также выполняется, то теорема доказана.

Теорема 6. Если и, то

(28)

(29)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения прообраза (§7, гл. II) получаем .

Аналогично доказывается (23):

.

Равенства (26) и (28) означают, что операции взятия образа и прообраза аддитивны, а равенство (29) – что операция взятия прообраза ещё и мультипликативна лишь для взаимно однозначных функций.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть множество 1 будет топологическим пространством (§8, гл. I).

Пример 1. Если значения функции - замкнутые множества (§8, гл.I), то произведение также замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. , тодля каждого, откуда, поскольку. Тогда, а т.к. и(аксиома 3, §8, гл.I), то .

Пример 2. Если значения функции - открытое множество, то сумматакже открыта.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множества замкнуты, поэтому и произведениезамкнуто. Согласно закону де Моргана (9), множествотакже замкнуто, а это значит, что множествооткрыто.

Пример 3. Если значения функции - регулярно замкнутые множества (§9, гл.I), то множество также регулярно замкнуто и содержит в качестве подмножеств все множества. Каждое регулярно замкнутое множество, содержащее в качестве подмножеств все множества, содержит также и.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что , откудаи. ()

Т.к. произвольно, то по теореме 1и. В то же времяи поэтому.

Следовательно, , т.е. множестворегулярно замкнуто. В силу ()содержит каждое множество. Если- регулярно замкнутое множество идля каждого, тои тогдаи тогда.

Пример 4. Если значения функции - регулярно замкнутые множества, то множествотакже регулярно замкнуто и содержится в каждом из множеств. Каждое регулярно замкнутое множество, содержащееся в каждом из множеств, содержится такое и в.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим . Тогда, поэтому.

Применяя формулу (15), §8, гл. I, получим . Таким образом,регулярно замкнуто. Т.к., тои, т.е.для каждого.

Наконец, если - регулярно замкнутое множество идля каждого, то. Поэтомуи.

Пример 5. В связи с теоремами, сформулированными в примерах 1 и 2, можно определить топологическое пространство, беря в качестве первичного понятия, вместо понятия замыкания, понятия замкнутого множества или открытого множества.

А именно под топологическим пространством будет понимать множество, в котором выделено некоторое семейство подмножеств, называемых замкнутыми множествами, удовлетворяющих следующим двум условиями:

I. Если , то(т.е. (см. (9), §8, гл.I) произведение любого непустого семейства замкнутых множеств замкнуто).

II. Если семейство конечно и, то(т.е. (см. (1), §8, гл.I) сумма конечного числа замкнутых множеств замкнута).

Если в качестве первичного понятия взять понятие открытого множества, а, обозначая через - семейство открытых множеств, принимаем двойственные аксиомы.

I'. Если , то.

II'. Если семейство конечно и, то.

Система аксиом (I) – (II) эквивалентна системе (1) – (4) гл. I, §8. Последняя выполняется, если определить формулой, где- семейство всех замкнутых множеств, содержащих. Тогда.

Аналогичное замечания относится к системе аксиом (I') – (II').

Пример 6. Замкнутой базой топологического пространства называют такое семейство , что для каждогосуществует непустое семейство, для которого.

Замкнутой подбазой называется каждое такое семейство , что семейство всех конечных сумм множеств изобразует замкнутую базу.

Пример 7. Открытая база и открытая подбаза определяются аналогично – заменой на, произведения на сумму и суммы на произведение.