§6. Графы. Теорема Рамсея.

Множество , состоящее из неупорядоченных пар различных элементов, называетсяграфом. Множество называетсяполем графа, его элементы – вершинами графа.

Если , то параназываетсяребром графа. Говорят также, что вершины ив графесвязаны ребром. Такая терминология объясняется геометрической интерпретацией графа в случае, когда его поле состоит из конечного числа линейно независимых точек пространства.

Эта геометрическая интерпретация представляет собой линию, отрезки которой (рёбра) не имеют общих точке, за исключением вершин.

Графом является, например, множество всех пар , гдеи. Этот граф будем обозначать символоминазывать полным графом над полем.

Если - граф над полем, то разностьтакже является графом, называемымдополнением графа .

Граф называетсяподграфом графа , если . Изучение графов равносильно изучению симметричных антирефлексивных отношений, т.е. отношений, для которых 1), 2).

В самом деле, каждому графу можно поставить в соответствие такое отношение, полагая. И обратно, каждое симметричное антирефлексивное отношение определяет граф, причем.

Теорема (Рамсей, 1923г). Если - граф над бесконечным полем, то или, илисодержит полный подграф над бесконечным полем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - функция выбора для. Положим

,

.

Тогда множество состоит из вершин, связанных ребром св графе, а- из вершин, связанных ребром св графе.

Определим по индукции 4 последовательности:

, ,

, .

А именно:

, ,.

1)

2) ,,.

Рассмотрим 2 случая:

для всех .

Можно доказать по индукции, что для всех

(1) ,

(2) множество бесконечно,

(3) ,

(4) .

Если , то из (3) следует, что, а т.к.(по (1) и (4)), то.

Поскольку множество значений последовательности бесконечно, полный граф, полем которого является это множество, содержится в, и теорема доказана.

2-й случай. Существует такое , что. Обозначим наименьшее такое число через. Т.к.для, то.

Множество или равно(если), или имеет вид. В обоих случаях оно бесконечно: в 1-м случае – по условию, во 2-м случае – поскольку.

Определим по индукции последовательность подмножеств множестваи последовательностьэлементов множества:

, ,

Множества образуют убывающую последовательность:для. Докажем по индукции, что каждое множествобесконечно.

1) Действительно, бесконечно. Пусть утверждение верно для некоторого. Докажем, что множествотакже бесконечно. Если бы оно было конечным, то для каждогобыло бы, а тогда множествои тем болеебыло бы бесконечным, откуда следовало бы, что, вопреки тому, чтопусто.

Итак, каждое множество бесконечно. Отсюда следует, чтодля всех. Если, то, а потому. Беря в качествемножество всех значений последовательности, получаем, и, таким образом, теорема доказана, т.к. множествобесконечно.

Пример. Пусть , и пусть-множество таких неупорядоченных пар, чтои числавзаимно просты. Применяя теорему Рамсея, получим, что если- бесконечно, то оно содержит либо такое бесконечное подмножество, что каждые два числа, принадлежащие, взаимно просты, либо такое бесконечное подмножество, что никакие два числа, принадлежащие, не взаимно просты.

Замечание 1. Наглядно теорему Рамсея можно сформулировать следующим образом: если каждое из ребер полного графа , где- бесконечное множество, выкрасить в один их 2-х цветов, тобудет содержать такое бесконечное множество, что все ребра графабудут выкрашены в один и тот же цвет.

Замечание 2. Теорема Рамсея имеет свой аналог (ниже принадлежащий Рамсею) для конечных множеств:

Для любого натурального числа найдётся такое натуральное число, что если множествоимеет менееэлементов, то для каждого графасуществует такое подмножество, содержащееэлементов, чтоили.

Другими словами, если - граф над-элементным полем, то или, илисодержит полный подграф над-элементным полем.