
- •Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества.
- •§1. Натуральные числа.
- •§2. Определения по индукции.
- •§3. Отображение множества nn на n и связанные с ним отображения.
- •§4. Конечные и бесконечные множества.
- •§5. Теорема д. Кёнига.
- •§6. Графы. Теорема Рамсея.
- •Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения.
- •§1. Бесконечные суммы и произведения.
- •§2. Операции на бесконечных последовательностях множеств.
- •§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.
- •§5. Обобщённые декартовы произведения.
- •§6. Декартовы произведения топологических пространств.
- •§ 7. Теорема Тихонова.
- •§8. Приведенные Декартовы произведения.
- •§ 9. Обратные системы и их пределы.
- •§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.
- •§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
- •§12. Теория представления дистрибутивных решеток.
- •II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.
- •III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.
- •Глава V. Теория кардинальных чисел.
- •§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.
- •§ 2. Счетные множества.
- •§ 3. Шкала кардинальных чисел.
- •§ 4. Арифметика кардинальных чисел.
- •§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.
- •§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.
- •§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел.
- •§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.
- •Глава VI. Линейно упорядоченные множества.
- •§ 1. Введение.
- •§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества.
- •§3. Типы ω (омега
- •Λ (лямбда
- •§ 4. Арифметика порядковых типов.
- •§ 5. Лексикографический порядок.
- •Литература
§5. Теорема д. Кёнига.
Пусть
- множества,
и
.
Конечная последовательность
(бесконечная последовательность
)
называется ветвью длины
(бесконечной ветвью), если
и
для каждого
(для каждого
).
Элемент
(не обязательно принадлежащий
)
называется начальной вершиной ветви.
Если
-
ветвь длины
(бесконечная ветвь) и
(
),
то
- ветвь длины
.
Теорема
1
(Д. Кёниг, 1927г.). Пусть все множества
уровня функции
конечны. Если
и для каждого
существует ветвь длины
с начальной вершиной
,
то существует по крайней мере одна
бесконечная ветвь с начальной вершиной
.
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Обозначим через
множество таких элементов
,
что для каждого
существует ветвь длины
с начальной вершиной
.
Очевидно, что
.
Лемма
1.
Если
,
то
.
Действительно,
предположим обратное, т.е. что
,
и будем считать конечное множество
множеством значений некоторой
последовательности
длины
.
Тогда для каждого
найдется такое число
,
что не существует ветви длины
с начальной вершиной
.
Наименьшее число
,
обладающее этим свойством, обозначим
через
и положим
.
Тогда
для всех
,
и, значит, ни для одного элемента
множества уровня функции
нет ветви, имеющей длину
и начальную вершину
.
С другой стороны, из условия
следует, что существует ветвь
,
имеющая длину
и начальную вершину
.
Полагая
для
,
получаем ветвь длиной
с начальной вершиной
,
что ведет к противоречию, т.к.
.
Теперь пусть
-
функция выбора для семейства непустых
множеств вида
,
.
Дополним область определения функции
,
полагая
.
Тогда
ставит соответствие каждому множеству
вида
элемент множества
.
Определим по индукции последовательность
:
,
.
Покажем, что для
каждого
(1)
Действительно,
для
имеем
,
значит,
и, согласно лемме 1,
.
Следовательно, по определению функции
выбора
.
Если утверждение (1) верно для какого-то
,
то по лемме 1:
и, значит,
.
Таким образом, утверждение (1) доказано.
Из него следует, что
,
т.е.
-
бесконечная ветвь с начальной вершиной
.
Мы использовали здесь факт существования функции выбора, т.е. мы воспользовались аксиомой выбора. Отметим, кстати, что мы использовали не саму аксиому выбора, а только один её частный случай, утверждающий существование функции выбора для произвольного семейства конечных множеств. Анализ приведенного доказательства показывает, что достаточно принять существование функции выбора лишь для счетных семейств конечных множеств.
Можно доказать,
что полностью устроить аксиому выбора
из доказательства теоремы Кёнига
невозможно, т.е. что эта теорема не
следует из системы аксиом
Пример.
Пусть
-
замкнутый интервал
,
и пусть
для
,
.
Пусть
-
такое семейство открытых интервалов,
что
.
Говорят, что
покрывает интервал
.
Теорема
2.
Существует такое число
,
что
покрывает все интервалы
для
.
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Пусть
-
семейство всех интервалов
,
а
-
семейство тех интервалов
,
,
которые не покрываются
.
Пусть
- тот интервал
,
который содержит
.
Тогда определена функция, принадлежащая
,
причем множества её уровня конечны. Для
доказательства теоремы достаточно
показать, что существует такое число
,
что ни одна из ветвей с начальной вершиной
не имеет длины
.
Предположим
обратное. Тогда по теореме Кёнига
существует бесконечная ветвь, т.е. такая
последовательность интервалов
,
что каждый следующий содержится в
предыдущем и ни один из них не накрывается
.
Пусть
-
общая точка всех интервалов этой
последовательности. Т.к.
,
то в
существует такой интервал
,
что
.
Отсюда легко следует, что
для некоторого
,
и, значит,
покрывает
,
что противоречит определению этого
интервала.