§5. Теорема д. Кёнига.

Пусть - множества,и. Конечная последовательность(бесконечная последовательность) называется ветвью длины(бесконечной ветвью), еслиидля каждого(для каждого).

Элемент (не обязательно принадлежащий) называется начальной вершиной ветви.

Если - ветвь длины(бесконечная ветвь) и(), то- ветвь длины.

Теорема 1 (Д. Кёниг, 1927г.). Пусть все множества уровня функции конечны. Еслии для каждогосуществует ветвь длиныс начальной вершиной, то существует по крайней мере одна бесконечная ветвь с начальной вершиной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через множество таких элементов, что для каждогосуществует ветвь длиныс начальной вершиной. Очевидно, что.

Лемма 1. Если , то.

Действительно, предположим обратное, т.е. что , и будем считать конечное множествомножеством значений некоторой последовательностидлины. Тогда для каждогонайдется такое число, что не существует ветви длиныс начальной вершиной. Наименьшее число, обладающее этим свойством, обозначим черези положим. Тогдадля всех, и, значит, ни для одного элементамножества уровня функциинет ветви, имеющей длинуи начальную вершину. С другой стороны, из условияследует, что существует ветвь, имеющая длинуи начальную вершину. Полагаядля, получаем ветвь длинойс начальной вершиной, что ведет к противоречию, т.к..

Теперь пусть - функция выбора для семейства непустых множеств вида,. Дополним область определения функции, полагая. Тогдаставит соответствие каждому множеству видаэлемент множества. Определим по индукции последовательность:

,

.

Покажем, что для каждого

(1)

Действительно, для имеем, значит,и, согласно лемме 1,. Следовательно, по определению функции выбора. Если утверждение (1) верно для какого-то, то по лемме 1: и, значит, . Таким образом, утверждение (1) доказано. Из него следует, что, т.е.- бесконечная ветвь с начальной вершиной.

Мы использовали здесь факт существования функции выбора, т.е. мы воспользовались аксиомой выбора. Отметим, кстати, что мы использовали не саму аксиому выбора, а только один её частный случай, утверждающий существование функции выбора для произвольного семейства конечных множеств. Анализ приведенного доказательства показывает, что достаточно принять существование функции выбора лишь для счетных семейств конечных множеств.

Можно доказать, что полностью устроить аксиому выбора из доказательства теоремы Кёнига невозможно, т.е. что эта теорема не следует из системы аксиом

Пример. Пусть - замкнутый интервал, и пустьдля,.

Пусть - такое семейство открытых интервалов, что. Говорят, чтопокрывает интервал.

Теорема 2. Существует такое число , чтопокрывает все интервалыдля.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - семейство всех интервалов, а- семейство тех интервалов,, которые не покрываются.

Пусть - тот интервал, который содержит. Тогда определена функция, принадлежащая, причем множества её уровня конечны. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такое число, что ни одна из ветвей с начальной вершинойне имеет длины.

Предположим обратное. Тогда по теореме Кёнига существует бесконечная ветвь, т.е. такая последовательность интервалов , что каждый следующий содержится в предыдущем и ни один из них не накрывается.

Пусть - общая точка всех интервалов этой последовательности. Т.к., то всуществует такой интервал, что. Отсюда легко следует, чтодля некоторого, и, значит,покрывает, что противоречит определению этого интервала.