§4. Конечные и бесконечные множества.

Понятия, введённые в §1 и §2, позволяют вывести из аксиом теории множеств основные свойства конечных и бесконечных множеств.

О п р е д е л е н и е. Говорят, что множество имеетэлементов, и пишут, если существует последовательность спопарно различными членами и множеством значений(Она называется взаимно однозначной последовательностью счленами).

Множество называют конечным, еслидля некоторого; в противном случае оно называется бесконечным.

Множество имеет 0 элементов тогда и только тогда, когда , т.к. единственной последовательностью с 0 членами является пустая последовательность.

Для каждого множествоимеетэлементов. Действительно, функция J_p, заданная формулой J_p(x)=x для каждого , является, согласно определению последовательности, последовательностью спопарно различными членами и множеством значений.

Теорема 1. Если функция взаимно однозначно отображает множествона, то условияиэквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если - последовательность спопарно различными членами и множеством значений, то- последовательность спопарно различными членами (см. теорему 2 §6, гл.II) и множеством значений .

Лемма. Если - взаимно однозначная функция,, и , то существует такая взаимно однозначная функцияс множеством значений, что.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Если, тои функциявзаимно однозначно отображаетна, поэтому достаточно взять. Если, тои аналогично. Легко проверить, что функция, заданная равенствами, еслииудовлетворяет лемме.

Теорема 2. Пусть . Следующие условия эквивалентны:

1. 

2. Существуют множества и элемент, для которыхи.

3. и, если для множества и элементы, не принадлежащие ему,, то.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

. Пусть - последовательность спопарно различными членами и множеством значений. Взяви, получим условиеII.

. Условие непосредственно следует изII. Обозначим через имножество и элемент, удовлетворяющие условиюII. Тогда и, значит, существует взаимно однозначная функция, отображающаяна.

Согласно лемме, существует функция , взаимно однозначно отображающаяна; следовательно,в силу теоремы 1.

. Пусть - произвольный элемент множестваи. Согласно условиюIII, и, значит, - множество значений некоторой последовательностиспопарно различными членами. Последовательностьсчленами, заданная равенствамидля,, имеет попарно различные члены, а множеством значений её является. Следовательно .

Теорема 3. Если ,, тотогда и только тогда, когда существует такое множество, чтоявляется его взаимно однозначным образом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если , то. Пусть- множество значений последовательностиспопарно различными членами, а- множество значений последовательностиспопарно различными членами. Тогда функциявзаимно однозначна и отображаетна некоторые подмножества множества(т.е.).

Обратно, предположим, что существуют множество и взаимно однозначная функция, отображающаяна.

Доказательство проведём индукцией по . Если, то, поэтомуи, значит,и. Пустьдля некоторого, и пусть. Тогда, гдеи. Т.к., то.

Множество или 1) пусть, или 2) равно.

В 1-м случае будет . Тогда поскольку,, можно применить индукцию и получить, а значит,.

Во 2-м случае в силу теоремы 2 , где. По предположению индукции, откуда, и теорема доказана.

Теорема 4. Если ,и, то.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцией по .

1. Для и, значит, теорема верна.

2. Пусть теорема верна для некоторого числа , и пусть. Тогда, где, и потому, где. По предположению индукции тогда. Из Теоремы 2 следует, что. Т.к. по определению суммы, то теорема доказана.

Следствие 5. Семейство всех конечных подмножеств произвольного множества образует идеал (см. (II) §5, гл.I).

Действительно, подмножество конечного множества конечно по теореме 3, а сумма конечных множеств конечна по теореме 3 и теореме 4.

Теорема 6. Если ,, то множествявляется взаимно однозначным образом множестваи только тогда, когда.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если , то очевидно, что- взаимно однозначный образ множества, т.к. существуют последовательности спопарно различными членами, отображающие множествосоответственно наи.

Обратно, пусть - взаимно однозначный образ множества. Тогда- взаимно однозначный образ множества. Докажем по индукции, что.

1) Для теорема верна (очевидно).

2) Пусть теорема верна для некоторого , и пусть- взаимно однозначный образ множества. Поскольку, положим. Т.к.и, то, согласно лемме (между теоремой 1 и теоремой 2 настоящего параграфа),является взаимно однозначным образом множестваи, значит, согласно предположению индукции,, откуда, и теорема доказана.

Следствие 7 (Принцип Дирихле). Если ,,, то функция, для которой, не взаимно однозначна.

Сам Дирихле содержательно сформулировал этот принцип так:

Если предметов разместить вящиках,, то хотя бы один ящик будет содержать не менее двух предметов.

Очевидно, что наша функция и есть как раз та функция, которая ставит в соответствие каждому предмету ящик, в который помещен этот предмет. Из доказанных теорем выведем теперь следствия для бесконечных множеств.

Теорема 8. Если бесконечно и, то ибесконечно.

Это следует непосредственно из теоремы 3.

Теорема 9. Если бесконечно, аконечно, то разностьбесконечна.

Это следует из теоремы 4.

Теорема 10. Множество бесконечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем методов от противного. Предположим, что , где. Т.к., то в силу теоремы 3 множествоимеетэлементов, где- такой элемент множества, что. Т.к.для каждого, то, что приводит к противоречию выражению 4 (§1, гл.III).

Следствие 11. Множество значений бесконечной последовательности с попарно различными членами бесконечно.

Действительно, такое множество является взаимно однозначным образом множества . Если бы оно было конечным, то по теореме 1 ибыло бы конечным. Из этого следствия и теоремы 8 вытекает следующая теорема.

Теорема 12. Множество, служащее в качестве подмножества множество значений бесконечной последовательности с попарно различными членами, бесконечно.

Множество, удовлетворяющее условиям теоремы 12, называется бесконечным в смысле Дедекинда.

Множество, бесконечное в смысле Дедекинда, бесконечно – аналог теоремы 12.

Обратная теорема также верна, но для её доказательства требуется аксиома выбора.

°Теорема 13. Бесконечное множество бесконечно в смысле Дедекинда.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - бесконечное множество и

- функция выбора для семейства -.

Продолжим , полгая, где- произвольный фиксированный элемент множества. Таким образом,ставит в соответствие каждому подмножеству множестваэлемент множестваи, если.

Определим теперь по индукции последовательность и:

,

Легко показать по индукции, что любое множество конечно идля. Отсюда следует, чтои, значит,идля каждого. В последовательностивсе члены попарно различны.

В самом деле, если , то, но, т.к. полагая, получаеми. Поэтому.

Множество поэтому бесконечно в смысле Дедекинда, ибо оно содержит подмножество, которое является множеством значений бесконечной последовательности с попарно различными членами.