§3. Отображение множества nn на n и связанные с ним отображения.

Определение по индукции несколько важных отображений, которыми в дальнейшем будет часто пользоваться.

1. Отображение множества на.

Положим для .

.

Теорема 1. Функция взаимно однозначно отображает множествона.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Покажем сначала, что. Если бы было, т.е., ,то мы имели бы

(1)

Откуда следовало бы, что , т.к.- возрастающая функция. Значит,, где. Подставив в (1) и обозначив, мы получили бы

Но это невозможно, т.к. , и, значит,

Аналогично доказывается, что не может быть . Значит,, и тогда

Предположение , т.е.,, ведет к противоречию

Аналогично сведем к противоречию предположение . Итак, взаимная однозначность функциидоказана.

Покажем теперь, что множество значений функцийсовпадает с. Из равенств следует, что . Пусть. Это значит, что существуети, для которых.

Если , то.

Если , то. Дляэто выражение можно переписать в виде. И, значит, снова. Наконец, если, тои, так что и здесь. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Существуют функции , отображающиена, для которых. Эти функции удовлетворяют неравенствам

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование функций иследует из теоремы 7 (гл.II, §6) и неравенства (2) выполняются, т.к. ,.

Замечание. Индуктивность функций становится ясным, если расположить парынатуральных чисел в бесконечную таблицу

N_{столбца}=Z(n)+1

N_строки(3)

а затем упорядочить из в последовательность

(4)

Пара стоит в этой последовательности на месте. Пара, стоящая на месте, встречается в таблице (3) в строке с номерамии столбце с номером.

Примечание.

- биноминальный коэффициент (см. Т. и Г. Корн “Справочник по математике” стр. 638).

В частности

.

2. Отображение множества на.

Определим по индукции последовательность взаимно однозначных функций так, чтобы -я функция в этой последовательности, обозначается, взаимно однозначно отображала множествона. Отождествляя каждую одночленную последовательность с её существенным членом, положим

для

для

Теорема 3. Функция взаимно однозначно отображает на.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для теорема очевидна. Предположим, что она верна для. Если, то, откудаи по определениюотображаетв. Взаимная однозначность функцииследует из импликаций.

.

Осталось доказать, что для каждого существует такая последовательность, что.

По предположению индукции существует такая последовательность , что. Искомой последовательностьюбудет последовательность, у которой первыечлены совпадают с, а последним членом является. Действительно, для такой последовательностиверно.

3. Отображение множества всех конечных последовательностей натуральных чисел на .

Обозначим для

.

Эта функция взаимно однозначно отображает множество всех непустых конечных последовательностей натуральных чисел на множество . Отсюда легко следует теорема.

Теорема 4. Существует функция , отображающая взаимно однозначно множествовсех конечных последовательностей натуральных чисел на множествои удовлетворяющая условию.

Достаточно для непустых последовательностей положитьи.

4. Отображение множества наина.

Пусть - натуральное число. Положим для:

, ,.

Таким образом, если и- последовательности длиныс членамиисоответственно,, то- последовательность длиныс членами,, аи- последовательности с членамии,.

Аналогичные определения принимаем и для бесконечных последовательностей натуральных чисел. Пусть . Положим

,,.

Таким образом, - бесконечная последовательность, у которой-й член равен, аи- бесконечные последовательности,-е члены которых соответственно равныи.

Теорема 5. Сужение функции на множествовзаимно однозначно отображает это множество на. Функциявзаимно однозначно отображает множествона.

Теорема 6. Для любого и любогоимеют место равенства,.

Доказать самостоятельно.

5. Отображение множества на.

Положим для и

,

т.е. - последовательность

Теорема 7. Функция (ставящая в соответствие последовательностипоследовательность) взаимно однозначно отображает множество на множество .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что для каждого. Функциявзаимно однозначна, т.к. из равенстваследует, чтодля каждого натурального. Тогдадля любыхи. В частности, дляиимеемдля всех. Наконец, каждый элемент множества или, другими словами, каждую бесконечную последовательность , членамикоторой являются элементы множества (- произвольное натуральное число), можно представить в видепри надлежащем выборе. В самом деле, еслизадать равенствами, тобудет последовательностью сn-ым членом , т.е.для всех. Следовательно,.