§ 4. Арифметика порядковых типов.

Для порядковых типов, как и для кардинальных чисел, можно определить операции, до некоторой степени аналогично арифметическим операциям. Законы полученной таким образом арифметики порядковых типов позволяют упростить рассуждения относительно линейно упорядоченных множеств.

Обратные типы. Легко доказать, что если отношение R линейно упорядочивает множество А, то и обратное отношение R^c линейно упорядочивает А.

Очевидно, что изоморфизм отношений R и S влечет изоморфизм обратных отношений R^c и S^c.

Порядковый тип множества А, упорядоченного отношением R^c, называется обратным порядковому типу множества А, упорядоченного отношением R. Если R упорядочивает А в тип α, то тип множества А, упорядоченного отношением R^c, обозначается α*.

Т.к. x (R^c)^c y ≡ x Ry, то

α**= α (1).

Пример 1. Если n – конечный порядковый тип, то n*=n, поскольку любые два конечные равномощные множества подобны.

Пример 2. Аналогично η*=η и α*= α. Но ω*≠ω, т.к. множество типа ω* (например, множество целых отрицательных чисел) имеет последний элемент, и множество типа ω его не имеет.

Сумма порядковых типов. Пусть α и β – два порядковых типа, А и В – такие два линейно упорядоченных множества (отношениями R и S), что . Можно добиться, чтобы последнее условие всегда выполнялось, т.к. если множестваА и В пересекаются, то их можно заменить подобными непересекающимися множествами А×{1} и В×{2}.

Суммой α+β называется число , где множествоупорядочено так, что все элементы множестваА предшествуют всем элементам множества В, а в каждом из множеств А и В порядок сохраняется.

В частности, если α и β – конечные числа, определение суммы совпадает с определением суммы натуральных чисел.

Легко видеть, что сумма α+β не зависит от множеств А и В, а только от их порядковых типов. Более того: (α+β)+γ=α+(β+γ), α+0=α=0+α.

Закон коммутативности в общем случае не выполняется. Например, ω+1≠1+ω. В самом деле, 1+ω=ω (это тип множества натуральных чисел), а ω+1 – тип множества с последним элементом.

Произведение порядковых типов. Пусть ,.

Произведением α·β называется число , где множествоА×В упорядочено так, что если <x,y>, <x₁,y₁> - два его элемента, то первый предшествует второму, когда y < y₁ или (в случае совпадения ординат) x < x₁.

Например, λ·λ=λ² – это порядковый тип плоскости, точки которой упорядочены описанным выше способом.

Легко видеть, что произведение α·β зависит только от сомножителей и для конечных типов наше определение совпадает с определением умножения натуральных чисел.

Более того, (α·β)·γ=α·(β·γ), α·1=1·α=α, α·0=0·α=0.

Умножение, как и сложение, некоммутативно. Например, ω·2 ≠ 2· ω. В самом деле,

.

Закон дистрибутивности выполняется: α·(β+γ)=α·β+α ·γ.

В самом деле, пусть ,,,. Тогда (§ 4, глава 2 – декартовы произведения), поскольку.

Степень с конечным показателем определяется по индукции:

α⁰=1,

αⁿ⁺¹= αⁿ ·α.

§ 5. Лексикографический порядок.

С произведением порядковых типов тесно связан так называемый лексикографический порядок. Чтобы его определить, предположим, что множество Т линейно упорядочено отношением Q и каждому сопоставлено множествоF_x, линейно упорядоченное отношением R_x.

Множества F_x могут пересекаться. Обозначим . Это – множество функцийf, определенных на Т и таких, что для всех.

Любые две функции f и g из Р определяют множество . Очевидно, чтоD(f,g)=0 тогда и только тогда, когда f=g.

Зададим в Р отношение S, выполняющееся между элементами f и g тогда и только тогда, когда либо f=g, либо множество D(f,g) имеет первый элемент x₀ и :.

Если отношение S линейно упорядочивает декартово произведение Р, то его называют отношением лексикографического порядка в Р. Говорят также, что Р упорядочено по принципу первого различия.

Выясним условия, при которых S линейно упорядочивает Р.

Теорема 1. Отношение S рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рефлексивность очевидна.

Предположим, что fSg и gSf. Если бы функции f и g были различны, то множество D(f,g) имело бы первый элемент х и для этого элемента было бы f(x)R_xg(x) и g(x)R_xf(x). Т.к. R_x упорядочивает F_x, то было бы f(x)=g(x) вопреки тому, что . Значит,f=g, т.е. S – антисимметрично.

Предположим, что fSg и gSh.

Если f=g или g=h, то очевидно, что fSh. Если f≠g и g≠h, то D(f,g) и D(g,h) имеют первый элементы x и y соответственно:

Если z предшествует x и y, то f(z)=g(z)=h(z). Если же z₀ – предшествующий из элементов x и y, то либо иg(z₀)=h(z₀) (если ), либоf(z₀)=g(z₀) и (если), либои(еслиx=y).

Во всех случаях , а это значит, чтоz₀ – первый элемент множества D(f,g).

Таким образом, fSh, и отношение S транзитивно. Теорема доказана.

Замечание. Приведем пример, показывающий, что отношение S может не быть связным.

Пусть Т – множество типа ω* (например, множество целых отрицательных чисел), F_x ={0,1}, а R_x – отношение ≤. В качестве f возьмем функцию, равную 0 для n четных и 1 для n нечетных, и пусть g(x)=1–f(x). Множество D(f,g) совпадает с Т, поэтому не имеет первого элемента, откуда следует, что ни fSg, ни gSf не выполняются.

Теорема 2. Если или, то отношениеS линейно упорядочивает множество Р.

Для доказательства достаточно показать, что отношение S связно в Р. Возьмем . МножествоD(f,g)≠0 и, значит, содержит первый элемент х. Из связности отношения R_x во множестве F_x получаем f(x)R_xg(x) или g(x)R_xf(x), откуда fSg или gSf.

Теорема 3. Если множества А₁,…, А_n имеют типы α₁,…, α _n, то множество А₁×…×А_n, упорядоченные лексикографически, имеют тип

α_n α_n-1…α ₁.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по n. Для n=1 теорема очевидна. Предположим, что она верна для некоторого n и рассмотрим декартово произведение Р= А₁×…×А_n+1, упорядоченное лексикографически. Обозначим через В множество А₂×…×А_n+1. Ясно, что если ввести во множество А₁×В лексикографический порядок, то оно будет подобно Р. Поэтому достаточно доказать, что множество А₁×В имеет тип α_n+1 α_n…α ₁. А это непосредственно следует из определения произведения типов.

Подобно лексикографическому порядку, можно определить антилексикографический порядок (по принципу последнего различия).

Определение произведения типов основано как раз на антилексикографическом порядке.

Пример 1. Произведение λ·λ представляет собой тип множества комплексных чисел, упорядоченного лексикографически (комплексное число x+iy отождествляется с упорядоченной парой <x,y>).

Пример 2. Произведение ηλ представляет собой тип множества комплексных чисел вида r+iy, где r – рациональное, а y – вещественное число. Это множество упорядочено антилексикографически. Произведение λη является типом того же множества, упорядоченного лексикографически. Эти типы различны, т.к. множество типа λη содержит непрерывные интервалы, а типы ηλ – не содержит.

Пример 3. Пусть Т – множество натуральных чисел с обычным порядком, F_x ={0,1} для , а отношениемR_x пусть будет ≤. Тогда отношение S лексикографического порядка изоморфно отношению ≤ во множестве Кантора С (если его рассматривать как множество вещественных чисел всегда , гдес_n=0 или с_n=2 для ).

Действительно, сопоставляя функции число, получаем, чтос_f < с_g тогда и только тогда, когда f ≠ g и наименьшее из чисел n₀, для которых f(n₀) ≠ g(n₀), удовлетворяет неравенству f(n₀) < g(n₀).

Пример 4. Пусть снова T=N (с отношением порядка ≤), и пусть F_n = N для . Каждой функциисопоставим вещественное число. Очевидно, что0 < r_f ≤ 1, причем каждое вещественное число х, удовлетворяющее этим неравенствам, можно представить в виде r_f единственным образом. Действительно, если - двоичное разложение числах, имеющее бесконечное количество отличных от 0 цифр, то последовательность φ строго возрастает и φ(0)>0. Тогда полагая

для n > 0, то получаем x=r_f.

Для того, чтобы было r_f < r_g, необходимо и достаточно, чтобы f ≠ g и наименьшее из чисел n₀, для которых f(n₀) ≠ g(n₀), удовлетворяло неравенству f(n₀) < g(n₀).

Отношение S лексикографического порядка в этом случае подобно отношению ≤ во множестве чисел х, 0 < x ≤ 1, и поэтому имеет тип λ+1.