§3. Типы ω (омега

η (эта греч.)

Λ (лямбда

Проиллюстрируем понятие порядкового типа на нескольких примерах.

Тип ω. Это тип множества N, упорядоченного отношением ≤.

Теорема 1. Линейно упорядоченное множество А имеет тип ω тогда и только тогда, когда

() А имеет первый элемент а₀,

() каждый элемент x множества А имеет последовательность х^*,

() если и множество Х содержит последовательность каждого своего элемента, то Х = А.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Условия ()-() инвариантны относительно подобных отношений. Т.к. они выполняются для множества натуральных чисел, упорядоченных отношением ≤, то они необходимы для того, чтобы множество А имело тип ω.

Обратно, пусть для множества А, линейно упорядоченного отношением R, выполняются условия ()-(). Зададим функцию f, устанавливающую подобие множества А множеству натуральных чисел:

(1)

Из этого определения следует, что множество значений функции f содержит а₀ и содержит последовательность каждого своего элемента. В силу () оно совпадает с А.

Докажем, что

(2)

Из (1) следует, что (2) верно для n=m+1. Если (2) верно для некоторого n, то оно верно также для n+1. В самом деле, если , то, т.к..

Из (2) непосредственно следует, что

Первая из этих импликаций доказывает, что функция f взаимно однозначна, а вместе со второй (теорема 2 § 1) – что f устанавливает подобие множества А множеству натуральных чисел.

Тип η. Прежде чем определить этот тип, докажем следующую важную теорему.

Теорема 2. Любые два непустые линейно упорядоченные счетные плотные множества, не имеющие ни первых, ни последних элементов, подобны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А и В – множества, удовлетворяющие условию теоремы. Для простоты будем обозначать отношения порядка в общих множествах одним и тем же символом.

По условию множества А и В бесконечны. Значит существуют такие взаимно однозначные последовательности и, чтои.

Определим по индукции две перестановки φ и ψ множества N так, чтобы отображение f:, устанавливало подобие множеств А и В.

Для этого прежде всего положим φ(0)= ψ(0)=0. Дальше определяем отдельно для случая n четного и n нечетного.

Случай 1. n – четно. Положим ,.

Если нет числа n, удовлетворяющих Ф(n), то будем считать равным нулю. Это же относится и к случаю 2.

Случай 2. n – нечетно. Определение аналогично, только φ и ψ меняются ролями:

,

.

Докажем индукцией по n, что если , то

, (3)

, (4)

(5)

Эти формулы (3÷5) верны для n=0. Предположим, что n₀>0 и они верны для n< n₀. Пусть n₀=n'+1. Дальнейшее доказательство распадается на два случая в зависимости от четности или нечетности n'. Рассмотрим только первый случай.

Т.к. множество А бесконечно, то существуют такие числа k, что дляj ≤ n'. По определению φ(n'+1) является одним из таких чисел k, что и доказывает (3) для n=n'+1= n₀.

Для доказательства (4) и (5) обозначим

Тогда , и т.к. (5) по предположению верно дляn ≤ n', то .

Поскольку В плотно, эта импликация означает, что существуют такие числа k, что для каждогоидля каждого.

По определению функции ψ следует, что ψ(n₀) – одно из таких чисел k. Таким образом, для. Кроме того,и аналогично для отношения > и для. Формулы (4) и (5) доказаны.

Формулы (3) и (5) показывают, что функция f: , устанавливает подобие множеств.

Остается показать, что эти множества совпадают с А и В, т.е. каждое натуральное число принадлежит множеству значений последовательностей φ и ψ. Ограничимся рассмотрением только последовательности φ.

Предположим противное, т.е. что N- φ¹(N) ≠ 0 и k₀ – наименьшее число этого непустого множества чисел. Очевидно, k₀ > 0. Обозначим для h<k₀ через n_h такое единственное число, что , и пустьn – четное число, больше всех чисел n_h, h<k₀.

Т.к. для всехj ≤ n, и для каждого h<k₀ существует такое j ≤ n, что , а именно, то, откудаk₀=φ(n+1) вопреки тому, что . Теорема доказана полностью.

Эта теорема утверждает, что существует только один тип непустых множеств, плотных, счетных, не имеющих ни первого, ни последнего элемента. Этот тип обозначается символом η.

Пример упорядоченных множеств типа η дает множество рациональных чисел, упорядоченное отношением ≤. Другой пример – пример 3 из § 1.

Множества типа η обладают следующим свойством универсальности.

Теорема 3. Если , А – произвольное линейно упорядоченное счетное множество, то существует такое множество, что.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что А бесконечно. Сохраняя обозначения, введенные в доказательстве теоремы 2, определим последовательности φ и ψ, как в случае 1, не ограничиваясь, однако, четными значениями n, а придавая n все натуральные значения.

Формулы (3)-(5) будут верны, и можно тем же методом, что и в теореме 2, доказать, что φ¹(N)=N и множества подобны. Первое из этих множеств равноА, а второе содержится в В, и теорема доказана.

Тип λ. Прежде чем дать определение этого типа, докажем следующую теорему.

Теорема 4. Если А и В – линейно упорядоченные непрерывные множества, конфинальный и коинициальный со своими частями А₁ и А₂, плотными в А и В и имеющими тип η, то А и В подобны.

Дадим только набросок доказательства этой теоремы.

Согласно теоремы 2, существует функция f₁, подобно отображающая А₁ на В₁. Легко показать, что множества:

,

где а – любой элемент из А, определяют собственное сечение в А₁. Из свойства функции f₁ следует, что пара образует собственное сечение вВ₁.

Далее полагаем ,

и доказываем, что пара образует собственное сечение множестваВ.

Т.к. В непрерывно, то существует элемент f(a), лежащий на этом сечении: это последний элемент множества и одновременно первый элемент множества.

Отображение f удовлетворяет условию . Действительно, если, тои, значит,. Следовательно,и, таким образом,.

Остается показать, что функция f взаимно однозначна и отображает множество А на все множество В. Для этого повторяем предыдущую конструкцию, меняя ролями множества А и В, и получаем функцию g, отображающую В в А.

Можно показать, что f(g(b))=b для каждого , и теорема доказана.

Теорема 4 позволяет применять следующее определение: линейно упорядоченное множество А имеет тип λ, если оно непрерывно и содержит плотное в нем подмножество А₁ типа η, имеющее с ним общее начало и общий конец.

Примером множества типа λ может служить множество ξ вещественных чисел, упорядоченных отношением ≤.

Замечание 1. С теоремой 4 связана проблема Сусминь: будет ли непрерывное множество без первого и последнего элементов, каждое семейство попарно непересекающихся интервалов которого счетно, иметь тип λ (т.е. содержать плотное счетное подмножество).

Замечание 2. Множества типов ω, η и λ имеют мощность ≤ C. Недавно доказано, что без аксиомы выбора нельзя вывести из остальных аксиом теории множеств теорему о существовании отношения, упорядочивающего множество мощности 2^C.