§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества.

Множество А называется плотным, если для любых двух элементов существует элемент, лежащий между ними.

В плотном множестве ни один элемент не имеет ни предшественника, ни последователя. Это свойство – характеристическое для плотных множеств. В самом деле, если никакой элемент множества А не имеет предшественника и , причем, тоx не может быть последним элементом множества , поскольку тогда он был бы предшественником элементаy. Значит, должен существовать такой элемент z, что , т.е. множествоА плотно.

Пустое и одноэлементное множество плотно. Остальные плотные множества бесконечны.

Неплотное множество может содержать бесконечное плотное подмножество. Например, множество, состоящее из всех положительных и целых отрицательных чисел и упорядоченное отношением ≤, неплотно, т.к. между -2 и -1 не лежит ни один элемент из этого множества:

А плотное

–+

-2 -1 0 1 2

Но оно содержит плотное подмножество – множество всех положительных чисел.

Линейно упорядоченное множество, не содержащее никакого бесконечного плотного подмножества, называется разреженным.

Разреженными будут, например, множество всех целых чисел и множество всех дробей вида 1/n (n=±1, ±2,… ), если они упорядочены отношением ≤.

Каждое подмножество разреженного множества разреженно.

Теорема 1. Если А и В – разреженные подмножества линейно упорядоченного множества М, то сумма также разреженна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует бесконечное плотное подмножество С множества . Т.к., то одно из множествилибесконечно. Пусть это будет множество. Поскольку оно неплотно (как подмножество разреженного множестваА), в нем существуют такие элементы а₁, а₂, что а₁ < а₂ и ни один элемент множества не лежит между ними. Отсюда следует, что для каждого

(1)

Обозначим . Это множество бесконечно, т.к. междуа₁ и а₂ лежит бесконечно много элементов множества С. Если

и , то существует элемент, лежащий между ними, и поэтому. Это означает, что множествоВ₁ плотно. Согласно (1), , т.е.В₁ – бесконечное плотное подмножество множества В вопреки условию (В разреженно). Теорема доказана.

Множество Х, содержащееся в линейно упорядоченном множества А, называется плотным в А, если между каждыми двумя элементами x и y множества А лежит по крайней мере один элемент z множества Х.

Например, множество рациональных чисел плотно во множестве вещественных чисел (если оба множества упорядочены отношением ≤).

Ясно, что если множество Х плотно в А, то и А и Х плотны.

Очевидно, что два множества Х и Y, плотное в А и не имеющие ни первого, ни последнего элемента, всегда конфинальны (финально-конечны, общий конец) и коинициальны (общее начало). Если Х конфинально с Y, а Y с Z, то Х и Z тоже конфинальны.

Аналогично для коинициальных множеств.

Пусть <Х,Y> - сечение линейно упорядоченного множества А. Произведение имеет не больше одного элемента. Действительно, если, тои, т.е.x = y.

Если , то говорят, что<Х,Y> определяет щель во множестве А.

Если , то говорят, что элемента лежит на сечении <Х,Y>.

Легко показать, что в этом случае и.

Сечение называется собственным, если X ≠ 0 ≠ Y.

Множество А называется непрерывным, если ни одно его собственное сечение не является щелью.

Если <Х₁,Y₁>, <Х₂,Y₂> - сечения в А, то либо , либо. В самом деле, возьмеми. В силу связностиb предшествует а, т.к. иначе . Поэтомуи тогда.

Отсюда следует

Теорема 2. Минимальное расширение M (ПЭ готическая) линейно упорядоченного множества непрерывно.

В самом деле, M – полная решетка, причем (как было показано выше) отношение порядка в ней связно, следовательно, линейно. Полная линейно упорядоченная решетка M непрерывна, т.к. если <Д₁,Д₂> - собственное сечение в M, то верхняя грань множества Д₁ лежит на этом сечении.

Следствие 3 (теорема Дедектида). Каждое линейно упорядоченное множество можно расширить (с сохранением граней) до непрерывного множества.

И в заключение этого параграфа приведем теорему, показывающую, что исследование произвольного порядкового типа можно свести к исследованию плотных и непрерывных порядковых типов. Нам потребуется понятие упорядоченной суммы линейно упорядоченных множеств.

Пусть Т – множество, линейно упорядоченное отношением Q, а R и F – такие функции, определенные для каждого , чтоR_x линейно упорядочивает F_x. Предположим, что для.

Теорема 4. Пусть отношение S выполняется для двух элементов a и b суммы тогда и только тогда, когдаa и b принадлежат либо одному и тому же слагаемому F_x и aR_xb, либо разным слагаемым иx₁Qx₂. Тогда S линейно упорядочивает сумму .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рефлексивность отношения S очевидна. Если a и b принадлежат различным слагаемым суммы , тоaSb или bSa, поскольку Q линейно упорядочивает множество индексов.

Если же a и b принадлежат одному и тому же слагаемому, то aSb или bSa, поскольку отношение R_x связно в F_x. Таким образом, S тоже связно.

Если ,,aSb и bSa, то x₁Qx₂ и x₂Qx₁, откуда x₁=x₂, т.к. Q антисимметрично в Т.

Наконец, предположим, что ,,,aSb и bSс. Тогда xQy, yQz и потому xQz. Если x ≠ z, то aSc. Если же x = z, то x = y = z, поскольку xQy, yQz и Q антисимметрично. Т.к. aR_xb и bR_xc (по определению отношения S), то aR_xс (в силу транзитивности R_x), откуда aSc. Таким образом, S транзитивно. Следовательно, отношение S линейно упорядочивает множество .

В дальнейшем под упорядоченной суммой линейно упорядоченных непересекающихся множеств F_x мы всегда будем понимать сумму , упорядоченную отношениемS, описанная в теореме 4, причем в каждом таком случае будет установлено отношение Q, упорядочивающее множество индексов.

Множество называют также суммой множествF_x относительно множества индексов Т.

Пусть А – произвольное множество, линейно упорядоченное отношением R. Для обозначим символом[x,y] множество тех z, которые либо равны x или y, либо лежат между ними. Очевидно, [x,y]=[y,x]. Докажем, что для любых

(2)

В самом деле, если иt = x или t = y, то очевидно, что . Еслииt = z или , то. Если же, то. Аналогично, если, то.

Пусть V_x – множество всех точек y, что множество [x,y] разреженно. Т.к. , тоV_x ≠ 0. Докажем, что множество V_x разреженно.

Предположим противное, т.е. что в V_x существует бесконечное, плотное подмножество С.

Согласно (2), если и, то, т.е. множество[c₁, c₂] содержится в сумме двух разреженных множеств (которая сама разреженна в силу теоремы 1). Но это невозможно, потому что между каждыми двумя различными элементами множества С лежит по крайней мере один его элемент.

Таким образом, предположение, что V_x не разрежено, привело к противоречию.

Докажем, что V_x – интервал множества А. Пусть и. Еслиx = t или , тои тогда множество[x,t] разреженно как подмножество разреженного множества [x,z].

Если же , тои множество[t,x] разреженно как подмножество разреженного множества [y,x]. Отсюда следует, что , т.е.V_x – интервал.

Если x ≠ y, то либо , либо. В самом деле, если, то множество[x,y] разреженно как подмножество суммы . Тогда если, то[u,y] разреженно, поскольку . Аналогичновлечет. Значит,.

Пусть А – семейство всех множеств V_x. Оно состоит из непересекающихся и непустых интервалов множества А и линейно упорядочено отношением ρ, имеющим место между V_x и V_y тогда и только тогда, когда илиV_x предшествует V_y.

Множество А представляет собой упорядоченную сумму , где семействоА линейно упорядочено отношением ρ, а каждый интервал Р – отношением R. В самом деле, сумма U(A) содержится в А, а каждый элемент x множества А принадлежит V_x и, значит, некоторому слагаемому этой суммы.

Покажем, что семейство А, упорядоченное отношением ρ, плотно.

Пусть V_x ρ V_y и V_x ≠ V_y, т.е. . Тогда интервал[x,y] не разрежен, т.е. для некоторого z, лежащего между x и y, одно из множеств [x,z], [z,y] – например, первое – содержит бесконечное плотное множество М. Если m, n, p – такие элементы множества М, что , то[x,n] и [n,y] содержит бесконечные плотные подмножества, откуда V_x ρ V_n ρ V_y и V_x≠V_n≠V_y.

Таким образом, получили следующую теорему.

Теорема 5. Каждое упорядоченное множество можно представить в виде суммы разреженных множеств относительно плотного множества индексов.