Глава VI. Линейно упорядоченные множества.

§ 1. Введение.

Напомним прежде всего определение линейно упорядоченного множества, данное в главе 2 § 9:

О п р е д е л е н и е 1. Множество А называется линейно упорядоченным, если в нем задано отношение порядка R, обладающее свойством связности, т.е. для всех выполняется условие.

Типы реляционных систем <A, R>, где R – отношение линейного порядка в А, называются порядковыми типами. Порядковый тип системы <A, R> обычно обозначается (хотя правильнее было бы обозначить).

Пример 1. Для положимφ ≤ ψ, если φ = ψ или φ_n < ψ_n, где n – наименьшее из чисел, для которых φ_n ≠ ψ_n. Отношение ≤ линейно упорядочивает множество . Если , то сужение отношения ≤ наА линейно упорядочивает множество А.

Пример 2. Множество А, составленное из натуральных чисел вида 2ⁿ, линейно упорядоченно отношением делимости, т.е. отношением .

Пример 3. Множество N×N линейно упорядочено отношением R, которое имеет место для пар <m,n> и <p,g> тогда и только тогда, когда . Это отношение изоморфно отношению ≤ во множестве рациональных чисел вида.

Пример 4. Пусть P(m) означает, что m – четно. Множество N линейно упорядочено отношением .

При таком порядке в N каждое четное число предшествует каждому нечетному, из двух четных чисел меньшее предшествует большему, а из двух нечетных большее предшествует меньшему: 2, 4, 6, 8, 10, …, 9, 7, 5, 3, 1.

Пример 5. Множество комплексных чисел линейно упорядочено отношением . При таком порядке числоx предшествует числу y, если вещественная часть Re(x) числа x меньше вещественной части Re(y) или если вещественные части равны, а мнимая часть Jm(x) числа x меньше мнимой части Jm(y).

а) x=5+6i б) x=5+6i

y=6+3i y=5+7i

Re(x)<Re(y)≡5<6 Jm(x)<Jm(y) ≡6<7

Пример 6. Множество концентрических кругов линейно упорядочено отношением вложения.

О п р е д е л е н и е 2. Элемент x называется первым элементом линейно упорядоченного (отношением R) множества А, если x Ry для всех .

A

(2, 4, 6, 8,…, 7, 5, 3, 1)

x

x y

Если же yRx для всех y, то x называется последним элементом множества А.

x

Первый и последний элементы существуют не во всяком линейно упорядоченном множестве, но если они существуют, то определяются однозначно.

Теорема 1. В каждом конечном непустом подмножестве Х линейно упорядоченного множества А существуют первый и последний элементы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу элементов множества Х. Если Х содержит один элемент, теорема очевидна. Пусть теорема верна для множеств, содержащих n элементов.

Множество , где, содержитn+1 элемент, причем b₁ – первый, b₂ – последний элемент множества Y. Тогда предшествующий из элементов a и b₁ – первый, а последующий из элементов a и b₂ – последний элемент множества Х.

В случае отношений линейного порядка обычно вместо изоморфизм говорят подобие отношений.

Следующая теорема показывает, что определение подобия можно упростить: вместо доказательства эквивалентности утверждений x Ry и достаточно доказать только одну импликацию.

Теорема 2. Для того чтобы множества А и В, линейно упорядоченные отношением R и S, были подобными, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция f, взаимно однозначно отображающая А и В, что для любых

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно показать, что если и, тоxRy. Предположим противное. Пусть ,и⌐(x Ry).

Т.к. отношение R связно, то либо x = y, либо yRx. В первом случае xRy, поскольку R рефлективно, но это противоречит предположению ⌐(x Ry). Во втором случае (в силу (1)) и, значит,, посколькуS антисимметрично. Т.к. функция f взаимно однозначно, то x = y, что невозможно, ибо в этом случае xRy. Полученное противоречие доказывает теорему.

Подобные множества, очевидно, равномощны. Для конечных множеств можно доказать и обратное утверждение.

Теорема 3. Любые два конечные равномощные линейно упорядоченные множества подобны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множества А и В, линейно упорядоченные отношением R и S, имеют по n элементов. Для n=0 пустая функция удовлетворяет условиям теоремы 2, следовательно, устанавливает изоморфизм отношений R и S.

Предположим, что теорема верна для n – элементных множеств, и пусть А и В имеют по n+1 элементу.

Пусть a – первый элемент множества А, b – первый элемент множества В. Согласно предположению индукции существует функция f₁, устанавливающая подобие множеств А – {a} и В – {b}.

Легко проверить, что функция устанавливает подобие множествА и В.

На примерах можно убедиться, что эта теорема не обобщается на бесконечные множества, например, на множество натуральных чисел (смотри примеры 4 и 6).

Из теоремы 3 следует, что для линейно упорядоченного n – элементного множества А можно положить .

Введем теперь некоторые сокращения и обозначения. Будем все время предполагать, что множество А линейно упорядочено отношением R.

Говорят, что элемент x предшествует элементу y, если xRy и x ≠ y. В этом случае пишут (или просто, когда нет необходимости отмечать отношениеR) или ().

Говорят, что y лежит между x и y, если или.

Если и во множествесуществует первый элемент, то этот элемент называетсяпоследователем элемента х (относительно R).

(2, 4, 6,…, 7, 5, 3, 1)

Последний элемент множества (если он существует) называетсяпредшественником элемента х.

Каждый элемент имеет не более одного предшественника и не более одного последователя.

Собственное подмножество Х множества А называется отрезком (остатком) множества А, если из следует, что каждый предшественник (последователь) элементах принадлежит Х.

Множество называетсяинтервалом, если из следует, что каждый элемент, лежащий междуx и y, принадлежит Х.

Обозначим . Иногда индексR будем опускать.

Легко видеть, что - отрезок. Но не каждый отрезок имеет вид.

О двух интервалах X и Y линейно упорядоченного множества А говорят, что первый предшествует второму, если .

Каждое семейство непересекающихся интервалов линейно упорядочено отношением Х предшествует Y или X=Y.