§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.

Здесь, как и в предыдущем параграфе, мы будем пользоваться аксиомой выбора и будем считать, что функция f принимает в качестве значений кардинальные числа и удовлетворяет условию (W, *) начала § 7.

°Теорема 1. Если F⁽¹⁾ и F⁽²⁾ – две такие функции, что для каждого, то.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и при доказательстве теоремы 1 § 7 полагаем (пользуясь аксиомой выбора), что существует множество, которое для каждого x содержит точно одну взаимно однозначную функцию φ_x, отображающую на.

Сопоставим функции функциюf₂, заданную равенством

f₂(t)= φ_x(f₁(t)) для (1).

Т.к. для каждого, то, а потому, или.

Если , тодля некоторогоt, откуда в силу взаимной однозначности функции φ_t:

или . Таким образом, отображение, сопоставляющее функцииf₁ функцию f₂, взаимно однозначно.

Заметим наконец, что если , то функцияf₁, заданная равенством , принадлежити удовлетворяет условию (1). Значит, каждая функция, принадлежащая, сопоставляется некоторой функции из. Теорема доказана.

°О п р е д е л е н и е. Произведением ƒ_x кардинальных чисел называется мощность декартова произведения , гдеF – любая функция, для которой , т.е., где.

Точнее, как и для обобщенной суммы само введение понятия обобщенного произведения требует аксиомы выбора, без которой нельзя доказать теорему 1, являющуюся основой для определения произведения.

Если Т={1,2}, то . Поэтому приT=N мы пользуемся обозначением ƒ₀∙ ƒ₁∙ ƒ₂∙… или .

Из теорем 2, 3, 4, доказанных в § 1, непосредственно получаем законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

коммутативности: ,где φ – перестановка множества Т);

ассоциативности: , гдеидляy₁≠y₂;

дистрибутивности: .

Если все значения функции f одинаковы, то произведение совпадает со степенью, т.е.

если дляи, то(2).

В силу теоремы 3 § 1 (формула (13)) и определения суммы кардинальных чисел получаем

(3)

Приведем, наконец, без доказательства теорему, аналогичную теореме 5 § 7:

если , то(4)

Пример 1. Положим в (2) иT=N. Т.к. (смотри (7) § 5), тоN₀∙ N₀∙…=C.

Пример 2. Положим в (2) f₀=2 и T=N. Т.к. , то2∙2∙2∙…=C.

Пример 3. Из (4) следует неравенства

2∙2∙2∙… ≤ 2∙3∙4∙…

2∙3∙4∙… ≤ ℵ₀∙ℵ₀∙ℵ₀ ∙…

В силу теоремы 3 § 5 отсюда получаем 1∙2∙3∙4∙5…=C. Также можно доказать, что k₁∙ k₂∙ k₃ ∙… =C, если k_n > 1 для всех n.

°Теорема 2 (Ю. Кёниг). Если для каждого, то.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно условию (W) существует такая функция F, что . Можно считать, чтодляx ≠ y (теорема 1 § 7). Рассуждая далее также, как при доказательстве теоремы 5 § 7, получаем, что существует такая функция J, что и. Поэтомудляx ≠ y и .

Покажем сначала, что

(5).

Пусть f – произвольная функция из . Такая функция существует в силу теоремы 3 главы 4 § 5.

Для каждого положим

Ясно, что . Еслиa ≠ b, то , т.к.a и b принадлежат либо различным множествам J_x, J_y и тогда ,

и, значит , либо одному и тому же множествуJ_x и тогда .

Таким образом, функции f_a образуют подмножество декартово произведения , равномощное сумме, откуда следует неравенство (5).

Теперь покажем, что

(6)

Для этого заметим, что каждое множество S, равномощное сумме , можно представить в виде суммы попарно непересекающихся множеств, где.

Пусть и. Значит,для каждогоt и, в частности, . Следовательно, когдаh пробегает множество H_x, элементы h(x) образуют множество K_x, содержащееся в F_x, причем (теорема 1 § 5) . Отсюдадля каждогоx и, значит, .

Пусть . Тогда, а поэтому, т.к.для всехh, принадлежащих H_x. Итак, функция φ не принадлежит никакому слагаемому H_x суммы S, т.е. и, значит,, откуда следует (6). Теорема доказана.

Полагая в теореме Кёнига q_x = 1, f_x = 2, , получаем неравенство Кантораm < 2^m (смотри (2) § 5). Таким образом, теорема Кёнига является обобщением этого неравенства.

Следствие 3. Если m_n < m_n+1 для n=0, 1, 2, … и m₀ > 0, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы Кёнига

m₀ + m₁ + m₂ +… < m₁∙ m₂∙ m₃ ∙… и тем более m₀ + m₁ + m₂ +… < m₀ ∙ m₁ ∙ m₂ ∙…

Следствие 4. Ни для какого кардинального числа n нельзя представить степень в виде суммы членов бесконечно возрастающей последовательности кардинальных чисел.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что .Тогдаи в силу (4) .

По следствию 3 последовательность m₀, m₁, m₂,… не может быть возрастающей. В частности, C и 2^C нельзя представить в виде суммы бесконечно возрастающих рядов. С другой стороны, число и вообщене будет степенно с показателемℵ₀.