
- •Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества.
- •§1. Натуральные числа.
- •§2. Определения по индукции.
- •§3. Отображение множества nn на n и связанные с ним отображения.
- •§4. Конечные и бесконечные множества.
- •§5. Теорема д. Кёнига.
- •§6. Графы. Теорема Рамсея.
- •Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения.
- •§1. Бесконечные суммы и произведения.
- •§2. Операции на бесконечных последовательностях множеств.
- •§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.
- •§5. Обобщённые декартовы произведения.
- •§6. Декартовы произведения топологических пространств.
- •§ 7. Теорема Тихонова.
- •§8. Приведенные Декартовы произведения.
- •§ 9. Обратные системы и их пределы.
- •§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.
- •§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
- •§12. Теория представления дистрибутивных решеток.
- •II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.
- •III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.
- •Глава V. Теория кардинальных чисел.
- •§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.
- •§ 2. Счетные множества.
- •§ 3. Шкала кардинальных чисел.
- •§ 4. Арифметика кардинальных чисел.
- •§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.
- •§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.
- •§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел.
- •§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.
- •Глава VI. Линейно упорядоченные множества.
- •§ 1. Введение.
- •§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества.
- •§3. Типы ω (омега
- •Λ (лямбда
- •§ 4. Арифметика порядковых типов.
- •§ 5. Лексикографический порядок.
- •Литература
§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.
Здесь, как и в предыдущем параграфе, мы будем пользоваться аксиомой выбора и будем считать, что функция f принимает в качестве значений кардинальные числа и удовлетворяет условию (W, *) начала § 7.
°Теорема 1. Если
F(1)
и F(2)
–
две такие функции, что
для каждого
,
то
.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Как и при доказательстве теоремы 1 § 7
полагаем (пользуясь аксиомой выбора),
что существует множество, которое для
каждого x
содержит точно одну взаимно однозначную
функцию φx,
отображающую
на
.
Сопоставим функции
функциюf2,
заданную равенством
f2(t)=
φx(f1(t))
для
(1).
Т.к.
для каждого
, то
,
а потому
,
или
.
Если
,
то
для некоторогоt,
откуда в силу взаимной однозначности
функции φt:
или
.
Таким образом, отображение, сопоставляющее
функцииf1
функцию f2,
взаимно однозначно.
Заметим наконец,
что если
,
то функцияf1,
заданная равенством
,
принадлежит
и удовлетворяет условию (1). Значит,
каждая функция, принадлежащая
,
сопоставляется некоторой функции из
.
Теорема доказана.
°О п р е д е л е
н и е. Произведением ƒx
кардинальных чисел называется мощность
декартова произведения
,
гдеF
– любая функция, для которой
,
т.е.
,
где
.
Точнее, как и для обобщенной суммы само введение понятия обобщенного произведения требует аксиомы выбора, без которой нельзя доказать теорему 1, являющуюся основой для определения произведения.
Если Т={1,2},
то
.
Поэтому приT=N
мы пользуемся обозначением ƒ0∙
ƒ1∙
ƒ2∙…
или
.
Из теорем 2, 3, 4, доказанных в § 1, непосредственно получаем законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:
коммутативности:
,где φ –
перестановка множества Т);
ассоциативности:
,
где
и
дляy1≠y2;
дистрибутивности:
.
Если все значения функции f одинаковы, то произведение совпадает со степенью, т.е.
если
для
и
,
то
(2).
В силу теоремы 3 § 1 (формула (13)) и определения суммы кардинальных чисел получаем
(3)
Приведем, наконец, без доказательства теорему, аналогичную теореме 5 § 7:
если
,
то
(4)
Пример 1.
Положим в (2)
иT=N.
Т.к.
(смотри (7) § 5), тоN0∙
N0∙…=C.
Пример 2.
Положим в (2) f0=2
и T=N.
Т.к.
,
то2∙2∙2∙…=C.
Пример 3. Из (4) следует неравенства
2∙2∙2∙… ≤ 2∙3∙4∙…
2∙3∙4∙… ≤ ℵ0∙ℵ0∙ℵ0 ∙…
В силу теоремы 3 § 5 отсюда получаем 1∙2∙3∙4∙5…=C. Также можно доказать, что k1∙ k2∙ k3 ∙… =C, если kn > 1 для всех n.
°Теорема 2 (Ю.
Кёниг). Если
для каждого
,
то
.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Согласно условию (W)
существует такая функция F,
что
.
Можно считать, что
дляx
≠ y
(теорема 1 § 7). Рассуждая далее также,
как при доказательстве теоремы 5 § 7,
получаем, что существует такая функция
J,
что
и
.
Поэтому
дляx
≠ y
и
.
Покажем сначала, что
(5).
Пусть f
– произвольная функция из
.
Такая функция существует в силу теоремы
3 главы 4 § 5.
Для каждого
положим
Ясно, что
.
Еслиa
≠ b,
то
,
т.к.a
и b
принадлежат либо различным множествам
Jx,
Jy
и тогда
,
и, значит
,
либо одному и тому же множествуJx
и тогда
.
Таким образом,
функции fa
образуют подмножество декартово
произведения
,
равномощное сумме
,
откуда следует неравенство (5).
Теперь покажем, что
(6)
Для этого заметим,
что каждое множество S,
равномощное сумме
,
можно представить в виде суммы попарно
непересекающихся множеств
,
где
.
Пусть
и
.
Значит,
для каждогоt
и, в частности,
.
Следовательно, когдаh
пробегает множество Hx,
элементы h(x)
образуют множество Kx,
содержащееся в Fx,
причем (теорема 1 § 5)
.
Отсюда
для каждогоx
и, значит,
.
Пусть
.
Тогда
,
а поэтому
,
т.к.
для всехh,
принадлежащих Hx.
Итак, функция φ
не принадлежит никакому слагаемому Hx
суммы S,
т.е.
и, значит,
,
откуда следует (6). Теорема доказана.
Полагая в теореме
Кёнига qx
= 1, fx
= 2,
,
получаем неравенство Кантораm
< 2m
(смотри (2) § 5). Таким образом, теорема
Кёнига является обобщением этого
неравенства.
Следствие 3.
Если mn
< mn+1
для n=0,
1, 2, … и m0
> 0, то
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы Кёнига
m0 + m1 + m2 +… < m1∙ m2∙ m3 ∙… и тем более m0 + m1 + m2 +… < m0 ∙ m1 ∙ m2 ∙…
Следствие 4. Ни
для какого кардинального числа n
нельзя представить степень
в виде суммы членов бесконечно возрастающей
последовательности кардинальных чисел.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Допустим, что
.Тогда
и в силу (4)
.
По следствию 3
последовательность m0,
m1,
m2,…
не может быть возрастающей. В частности,
C
и 2C
нельзя представить в виде суммы бесконечно
возрастающих рядов. С другой стороны,
число
и вообще
не будет степенно с показателемℵ0.