§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел.

Пусть T – произвольное множество, ƒ _(x) – определенная на нем функция, принимающая в качестве значения кардинальные числа.

Вместо ƒ (x) будем писать ƒ_x.

Предположим, что функция ƒ удовлетворяет следующему условию: существует такая функция F⁽⁰⁾, определенная на Т и принимающая в качестве значений множества, что для всех (обозначим это условие как (W)).

Для многих функций ƒ выполнение условия (W) легко проверить, когда f имеет только конечное число различных значений. В главе 8, § 8 мы покажем, что условие (*, W) выполняется для каждой функции f, так что в действительности условие (W) не ограничивает общности наших рассмотрений.

Теорема 1. Существует такая функция F, определенная на Т и принимающая в качестве значений множества, что

для (1)

для (2)

Если, кроме того, F⁽¹⁾ и F⁽²⁾ – две функции, для которых выполняются условия (1) и (2), то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим для , где F⁽⁰⁾ – любая функция, удовлетворяющая условию (W). Если x ≠ y, то , т.к. множество F_x состоит из упорядоченных пар со вторым элементом y.

Кроме того, . Таким образом, функция F удовлетворяет условиям (1) и (2).

Пусть условиям (1) и (2) удовлетворяет функции F⁽¹⁾ и F⁽²⁾. Для каждого множество Ф_x функций, взаимно однозначно отображающих на , непусто.

Если x ≠ y, то , т.к. каждая из функций, принадлежащих Ф_x, определена на F_x и, значит, отлична от каждой из функций, принадлежащих Ф_x.

Тогда согласно аксиоме выбора, существует множество ψ, содержащее точно один общий элемент с каждым из множеств Ф_x.

Пусть φ_x – этот единственный элемент произведения ψ ∩ Ф_x, т.е. некоторая функция, отображающая взаимно однозначно множество и .

Легко показать, что функция отображает взаимно однозначно сумму на . Теорема доказана.

О п р е д е л е н и е. Суммой ƒ _(x) (для ) кардинальных чисел называется кардинальное число , где F – произвольная функция, удовлетворяющая условиям (1) и (2).

Это число будем обозначать символом или , т.е.

(3)

Определение это корректно, т.к. число не зависит от выбора функции F, удовлетворяющая условиям (1) и (2), и т.к. такая функция всегда существует. Последнее нельзя доказать без помощи аксиомы выбора, так что использование понятия суммы произвольного множества кардинальных чисел предполагает прежде всего принятие аксиомы выбора.

Если T={1,2}, то .

Если T=N, то или называют суммой ряда кардинальных чисел.

°Теорема 2 (обобщенный закон коммутативности).

Если φ – произвольная перестановка множества Т, то .

Для д о к а з а т е л ь с т в а достаточно заметить, что в силу теоремы 3 (§ 1, гл. 4) и равенства (3) , где F - произвольная функция, удовлетворяющая условиям (1) и (2).

°Теорема 3 (обобщенный закон ассоциативности).

Если и множества T_y попарно не пересекаются, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим ,

т.е. .

Тогда по теореме 2 главы 4 § 8 , откуда . Теорема доказана.

°Теорема 4 (обобщенный закон дистрибутивности умножения относительно сложения). Для произвольного кардинального числа m .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m. Тогда

(*)

(**).

В то же время справедливо .

°Теорема 5. Если для , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть К_х – семейство тех , которые имеют мощность q_x. Тогда К_х ≠ 0 для каждого . Значит существует (теорема 3, глава 4, § 5) функция y, принадлежащая , т.е. . Следовательно, и , откуда и , а это доказывает, что .

°Теорема 6. Если , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

Из теоремы 5 следует, что , а с другой стороны, .

°Теорема 7. Если f_x=m для всех и , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m. Тогда для каждого x существует функция f, взаимно однозначно отображающая множество F_х на М. Пусть Ф_х – множество всех таких функций. По аксиоме выбора существует множество ψ, содержащее точно по одному элементу из каждого множества Ф_х.

Пусть f_х – этот единственный элемент произведения . Обозначим для , где x – (единственный) элемент множества Т, для которого .

Функция f отображает сумму на М×Т. Эта функция взаимно однозначна. В самом деле, если ,

,

то x₁ ≠ x₂ влечет t₁ ≠ t₂, поскольку t₁ и t₂ принадлежат непересекающимся множествам . Если же x₁ = x₂=x, то из взаимной однозначности функции f_х следует, что влечет t₁ ≠ t₂. Таким образом, , и теорема доказана.

°Теорема 8. Если для и , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая m_x=m для , из теоремы 5 получаем , а из теоремы 7 получаем .

Пример 1. вычислим сумму , где k_n – натуральное число, а n пробегает множество натуральных чисел N.

Для этого заметим, что в силу теоремы 7

(4)

а т.к. по теореме 5 , то по теореме Кантора-Бернштейна .

В частности, 2+2+2+…=ℵ₀,

1+2+3+…=ℵ₀,

1!+2!+3!+…=ℵ₀.

Пример 2. Из равенства (4) следует, что сумма счетного множества счетна (теорема 8, § 2).

Пример 3. В силу теоремы 7 C+C+…=C ∙ℵ₀=C. Аналогично сумма , где множество Т имеет мощность C и все слагаемые равны C, равна C∙C, т.е. C.