
- •Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества.
- •§1. Натуральные числа.
- •§2. Определения по индукции.
- •§3. Отображение множества nn на n и связанные с ним отображения.
- •§4. Конечные и бесконечные множества.
- •§5. Теорема д. Кёнига.
- •§6. Графы. Теорема Рамсея.
- •Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения.
- •§1. Бесконечные суммы и произведения.
- •§2. Операции на бесконечных последовательностях множеств.
- •§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.
- •§5. Обобщённые декартовы произведения.
- •§6. Декартовы произведения топологических пространств.
- •§ 7. Теорема Тихонова.
- •§8. Приведенные Декартовы произведения.
- •§ 9. Обратные системы и их пределы.
- •§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.
- •§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
- •§12. Теория представления дистрибутивных решеток.
- •II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.
- •III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.
- •Глава V. Теория кардинальных чисел.
- •§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.
- •§ 2. Счетные множества.
- •§ 3. Шкала кардинальных чисел.
- •§ 4. Арифметика кардинальных чисел.
- •§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.
- •§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.
- •§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел.
- •§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.
- •Глава VI. Линейно упорядоченные множества.
- •§ 1. Введение.
- •§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества.
- •§3. Типы ω (омега
- •Λ (лямбда
- •§ 4. Арифметика порядковых типов.
- •§ 5. Лексикографический порядок.
- •Литература
§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.
Обозначим C=2ℵ0. C (це готическая).
Число C называют мощностью континуума (continuum (лат.)- непрерывный).
N={1,2,3,…}.
Бесконечные множества, имеющие столько же элементов, сколько и множество натуральных чисел, говорят, что имеют мощность ℵ0 (мощность счетного множества).
Бесконечные множества, имеющие столько же элементов, сколько и отрезок прямой, говорят, что имеют мощность континуума C.
Докажем несколько формул, связывающих числа n (натуральные числа), ℵ0, C.
C + C = C (1)
Действительно, (смотри (9), § 4) C+C=2C=2·2ℵ0=21+ℵ0=2ℵ0=C, т.к.
1+ ℵ0= ℵ0.
n<ℵ0< C (2)
Это следует из (1), (2) § 5.
(n+C)=(ℵ0+C)=C (3)
В самом деле, в силу (2) (смотри (4) § 5) C≤(n+C)≤( ℵ0+C)≤(C+C), а в силу (1) C≤(n+C)≤(C+ℵ0)≤C.
Применяя теорему 3 § 5, получаем равенство (3).
C = C ∙ C (4)
(число точек на отрезке (C) и в квадрате одинаково)
В самом деле,
,
т.к. (ℵ0+ℵ0)=
ℵ0
(смотри (3)
§ 4).
n∙C =ℵ0∙C =C для n>0 (5)
Действительно, из (2) в силу (5) § 5 следует, что C≤n∙C≤ℵ0∙C≤C∙C, откуда с помощью теоремы Кантора-Бернштейна и равенства (4) получили (5).
Из (4) легко получить по индукции
Cn=C (n>0) (6)
(n>1)
(7)
В самом деле (смотри
(10) § 4),
.
Отсюда с помощью теоремы Кантора-Бернштейна получаем (7).
Обозначим через ƒ – мощность множества всех функций, заданных на действительной оси: ƒ=2C.
(8)
Приведем теперь примеры множеств мощностей C и 2C.
Теорема 1. Множество Кантора С имеет мощность C.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
С={0,1}N
и, значит,
по теореме 7 § 4.
Теорема 2. Множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность C.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Это множество NN,
поэтому его мощность равна
.
N={a1,
a2,
a3,
…};
a1={
a11,
a12,…},
a2={
a21,
a22,…},
a3={
a31,
a32,…}.
Теорема 3. Следующие множества имеют мощность C:
а) мощность всех иррациональных чисел интервала (0,1);
б) мощность всех точек этого интервала;
в) множество ξ всех вещественных чисел;
г) множество всех точек пространства ξ n, где n – натуральное число.
Числа:
Целые: n, -n, 0;
Рациональные – числа целые и дробные p/g, где p и g – целые, g≠0.
x
Каждому рациональному
числу a
соответствует точка прямой (точка на
прямой), имеющая координату на прямой
(множество рациональных чисел всюду
плотно, т.е. a<c<b).
Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной и бесконечной периодической).
Иррациональное число – то, которое можно представить непрерывной бесконечной десятичной дробью. Введение иррационального числа позволяет каждой точке числовой прямой поставить в соответствие некоторое число, что имеет совокупность чисел непрерывной.
B
A
0
1
2
3
Вещественные (действительные) числа: все рациональные + иррациональные (оно упорядочено, всюду плотно, непрерывно). Дальнейшим обобщением понятия числа является мнимое число.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Действительно, (а) вытекает из замечания
§ 7, гл. 4 и из теоремы 2; (б)– из замечания,
что множество точек интервала (0,1)
представляет собой сумму счетного
множества рациональных чисел этого
интервала и множества иррациональных
чисел, которое имеет мощность C;
(в – из замечания, что функция
взаимно однозначно отображает множество
ξ
на интервале (0,1);
(г) – из (в) и равенства (6).
Теорема 4. Если
, то
.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Из (6) следует, что A×A~A.
Поэтому достаточно показать, что если
M
– счетное
подмножество произведения A×A,
то разность (A×A)
–
M
имеет мощность C.
Проекция на А
множества M
имеет мощность не выше счетной. Значит,
существует элемент
,
который не принадлежит этой проекции.
Множество
не пересекается с М
и имеет мощность C.
Тогда разность (A×A)
– М имеет
мощность ≥
C.
С другой стороны, эта разность имеет
мощность ≤
C,
поскольку она является частью множества
A×A.
Поэтому согласно теореме Кантора-Бернштейна,
(A×A)
– М имеет
мощность С.
Следствие 5. Множество трансцендентных чисел имеет мощность C.
Трансцендентными числами называются иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими иррациональными (имеющие действительные корни алгебраических уравнений вида xn+a1 x n-1+ a2 xn-2+…+ an-1 x+ an=0, например, x3 – 9x – 4 = 0, y1=-3,201 , y2=2,747 , y3=0,455).
Пример:
π,
е,
десятичные логарифмы целых чисел (кроме
10n),
большинство значений тригонометрических
функций от угла, равного целому числу
градусов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно применить теорему 4, принимая в ней в качестве А множество ξ всех вещественных чисел, а в качестве В – множество всех алгебраических чисел.
Это следствие, доказанное Кантором в 1874 году, было одним из первых приложений теорем множеств к конкретным математическим проблемам.
Теорема 6. множество ξN бесконечных последовательностей вещественных чисел имеет мощность C.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Согласно (7)
.
Теорема 7. Множество непрерывных функций вещественного переменного имеет мощность C.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть r1, r2,…, rn,… - последовательность всех рациональных чисел. Каждой непрерывной функции f вещественного переменного сопоставим последовательность вещественных чисел:
f(r1), f(r2), …, f(rn), … (9)
Если функции f и g различны, то и соответствующие им последовательности f(r1), f(r2), …, f(rn), … и g(r1), g(r2), …, g(rn), … также различны.
В самом деле, если
f
≠ g,
то f(x)
≠ g(x)
для некоторого x.
Если
- последовательность рациональных
чисел, сходящихся к x,
то
не для всех n,
т.к. иначе в силу непрерывности функций
f
и g
было бы
.
Таким образом, множество непрерывных функций вещественного переменного равномощно множеству последовательностей (9), мощность которого по теореме 4 не больше C. С другой стороны, мощность множества непрерывных функций не меньше C, т.к. оно содержит все константы. Согласно теореме Кантора-Бернштейна отсюда следует теорема 7.
Теорема 8. Множество ξ ξ всех функций вещественного переменного имеет мощность 2C.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
(согласно (8)).