§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.

Обозначим C=2^ℵ0. C (це готическая).

Число C называют мощностью континуума (continuum (лат.)- непрерывный).

N={1,2,3,…}.

Бесконечные множества, имеющие столько же элементов, сколько и множество натуральных чисел, говорят, что имеют мощность ℵ₀ (мощность счетного множества).

Бесконечные множества, имеющие столько же элементов, сколько и отрезок прямой, говорят, что имеют мощность континуума C.

Докажем несколько формул, связывающих числа n (натуральные числа), ℵ₀, C.

C + C = C (1)

Действительно, (смотри (9), § 4) C+C=2C=2·2^ℵ0=2^1+ℵ0=2^ℵ0=C, т.к.

1+ ℵ₀= ℵ₀.

n<ℵ₀< C (2)

Это следует из (1), (2) § 5.

(n+C)=(ℵ₀+C)=C (3)

В самом деле, в силу (2) (смотри (4) § 5) C≤(n+C)≤( ℵ₀+C)≤(C+C), а в силу (1) C≤(n+C)≤(C+ℵ₀)≤C.

Применяя теорему 3 § 5, получаем равенство (3).

C = C ∙ C (4)

(число точек на отрезке (C) и в квадрате одинаково)

В самом деле, , т.к. (ℵ₀+ℵ₀)= ℵ₀ (смотри (3) § 4).

n∙C =ℵ₀∙C =C для n>0 (5)

Действительно, из (2) в силу (5) § 5 следует, что C≤n∙C≤ℵ₀∙C≤C∙C, откуда с помощью теоремы Кантора-Бернштейна и равенства (4) получили (5).

Из (4) легко получить по индукции

Cⁿ=C (n>0) (6)

(n>1) (7)

В самом деле (смотри (10) § 4), .

Отсюда с помощью теоремы Кантора-Бернштейна получаем (7).

Обозначим через ƒ – мощность множества всех функций, заданных на действительной оси: ƒ=2^C.

(8)

Приведем теперь примеры множеств мощностей C и 2^C.

Теорема 1. Множество Кантора С имеет мощность C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. С={0,1}^N и, значит, по теореме 7 § 4.

Теорема 2. Множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Это множество N^N, поэтому его мощность равна . N={a₁, a₂, a₃, …}; a₁={ a₁₁, a₁₂,…}, a₂={ a₂₁, a₂₂,…}, a₃={ a₃₁, a₃₂,…}.

Теорема 3. Следующие множества имеют мощность C:

а) мощность всех иррациональных чисел интервала (0,1);

б) мощность всех точек этого интервала;

в) множество ξ всех вещественных чисел;

г) множество всех точек пространства ξ ⁿ, где n – натуральное число.

Числа:

1. Целые: n, -n, 0;

2. Рациональные – числа целые и дробные p/g, где p и g – целые, g≠0.

x

Каждому рациональному числу a соответствует точка прямой (точка на прямой), имеющая координату на прямой (множество рациональных чисел всюду плотно, т.е. a<c<b).

Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной и бесконечной периодической).

3. Иррациональное число – то, которое можно представить непрерывной бесконечной десятичной дробью. Введение иррационального числа позволяет каждой точке числовой прямой поставить в соответствие некоторое число, что имеет совокупность чисел непрерывной.

B

A

0

1

2

3

4. Вещественные (действительные) числа: все рациональные + иррациональные (оно упорядочено, всюду плотно, непрерывно). Дальнейшим обобщением понятия числа является мнимое число.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, (а) вытекает из замечания § 7, гл. 4 и из теоремы 2; (б)– из замечания, что множество точек интервала (0,1) представляет собой сумму счетного множества рациональных чисел этого интервала и множества иррациональных чисел, которое имеет мощность C; (в – из замечания, что функция взаимно однозначно отображает множество ξ на интервале (0,1); (г) – из (в) и равенства (6).

Теорема 4. Если , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (6) следует, что A×A~A. Поэтому достаточно показать, что если M – счетное подмножество произведения A×A, то разность (A×A) – M имеет мощность C. Проекция на А множества M имеет мощность не выше счетной. Значит, существует элемент , который не принадлежит этой проекции.

Множество не пересекается с М и имеет мощность C. Тогда разность (A×A) – М имеет мощность ≥ C. С другой стороны, эта разность имеет мощность ≤ C, поскольку она является частью множества A×A. Поэтому согласно теореме Кантора-Бернштейна, (A×A) – М имеет мощность С.

Следствие 5. Множество трансцендентных чисел имеет мощность C.

Трансцендентными числами называются иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими иррациональными (имеющие действительные корни алгебраических уравнений вида xⁿ+a₁ x ^n-1+ a₂ x^n-2+…+ a_n-1 x+ a_n=0, например, x³ – 9x – 4 = 0, y₁=-3,201 , y₂=2,747 , y₃=0,455).

Пример: π, е, десятичные логарифмы целых чисел (кроме 10ⁿ), большинство значений тригонометрических функций от угла, равного целому числу градусов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно применить теорему 4, принимая в ней в качестве А множество ξ всех вещественных чисел, а в качестве В – множество всех алгебраических чисел.

Это следствие, доказанное Кантором в 1874 году, было одним из первых приложений теорем множеств к конкретным математическим проблемам.

Теорема 6. множество ξ^N бесконечных последовательностей вещественных чисел имеет мощность C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно (7) .

Теорема 7. Множество непрерывных функций вещественного переменного имеет мощность C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть r₁, r₂,…, r_n,… - последовательность всех рациональных чисел. Каждой непрерывной функции f вещественного переменного сопоставим последовательность вещественных чисел:

f(r₁), f(r₂), …, f(r_n), … (9)

Если функции f и g различны, то и соответствующие им последовательности f(r₁), f(r₂), …, f(r_n), … и g(r₁), g(r₂), …, g(r_n), … также различны.

В самом деле, если f ≠ g, то f(x) ≠ g(x) для некоторого x. Если - последовательность рациональных чисел, сходящихся к x, то не для всех n, т.к. иначе в силу непрерывности функций f и g было бы .

Таким образом, множество непрерывных функций вещественного переменного равномощно множеству последовательностей (9), мощность которого по теореме 4 не больше C. С другой стороны, мощность множества непрерывных функций не меньше C, т.к. оно содержит все константы. Согласно теореме Кантора-Бернштейна отсюда следует теорема 7.

Теорема 8. Множество ξ ^ξ всех функций вещественного переменного имеет мощность 2^C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (согласно (8)).