§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.

Введем отношение «меньше» для кардинальных чисел.

Определение. Кардинальное число m не больше кардинального числа n, т.е. m ≤ n, если каждое множество мощности m равномощно некоторому подмножеству множества мощности n.

Еслиm ≤ n

m ≠ n , то говорят, что m < n (или n > m).

Например.

n < α (1)

m < 2^m (2)

Для доказательства (2) заметим, что m ≤ 2^m, потому что множество А мощности m равномощно части множества 2^А, составленной из всех одноэлементных множеств. Вместе с тем m ≠ 2^m в силу теоремы 2 § 3.

°Теорема 1. Если функция f определена на множестве Х и f ¹(X)=Y, то .

Y

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множеством уровня функции мы назовем множество всех тех элементов из Х, на которых f принимает одинаковое значение (глава 2, § 7).

Y=f'(x)

X

x₁ ………… x_n

множество уровня

Таким образом, каждое множество уровня имеет вид: .

Т.к. все множества уровня попарно не пересекаются и непусты, то согласно аксиоме выбора, существует множество А, содержащее точно по одному элементу из каждого множества уровня. Следовательно, А равномощно множеству множеств уровня, и, значит, множеству f ¹(X). Поскольку А – подмножество множества Х, отсюда следует, что .

Пример. Проекция плоского множества Q на произвольную прямую имеет мощность . Множества уровня здесь – произведенияQ и J, где J – прямая, параллельная направлению проектирования.

Замечание. Мы пишем m ≤ *n, если m=0 или если (каждое) множество мощности m является образом (каждого) множества мощности n. Из теоремы 1 легко следует, что {m ≤ n}≡{m ≤ *n}. При доказательстве этой эквивалентности используется аксиома выбора, без которой не удается доказать даже такого интуитивно очевидного утверждения, что условия m ≤ *n и n < m несовместимы.

Отношение ≤ обладает свойством, известным нам из арифметики:

транзитивность (m ≤ n)&(n ≤ ƿ)(m ≤ ƿ), (3)

монотонность

(m ≤ n) (m+ƿ ≤ n+ƿ), (4)

(m ≤ n) (m·ƿ ≤ n·ƿ), (5)

(m ≤ n) (m^ƿ ≤ n^ƿ), (6)

(m ≤ n) (ƿ ^m ≤ ƿ ⁿ). (7)

Свойство (3) означает транзитивность, а (4)-(7) – монотонность сложения, умножения и возведения в степень.

Докажем, например, (3). Пусть A, B, C – множества мощностей m, n, ƿ соответственно. По условию А равномощно части В₁ множества В, а В равномощно части С₁ множества С. Пусть функции f и g устанавливают равномощности А ~ В₁ и В ~ С₁. Суперпозиция g◦ f взаимно однозначно отображает А на часть множества С₁ и поэтому m ≤ ƿ.

Для отношения < законы монотонности уже неверны. Например, 2 < α, но 2+α=α+α=α·α=2α. Аналогично 2 < 3, но 2^α = 3^α (смотри § 6).

Законы, обратные законам (4)-(7), называются в арифметике натуральных чисел правилами сокращения для отношения ≤ и соответственно операций сложения, умножения и возведения в степень. Как известно, для арифметики они верны (если предположить, что ƿ>1).

В арифметике произвольных кардинальных чисел все эти правила ложны: достаточно, например, взять m=2, n=3, ƿ=α.

Зато правила сокращения для отношения < и операций сложения, умножения и возведения в степень верны. Доказательство их можно легко получить из следующего закона трихотомии, который будет доказан (с помощью аксиомы выбора) в главе 8: для произвольных кардинальных чисел m и n либо m ≤ n, либо n ≤ m.

В оставшейся части параграфа обсудим проблему асимметрии отношения <. Эта проблема исследовалась еще Кантором (однако ему не удалось решить ее до конца) и положила начало целому ряду интересных исследований.

Асимметрия отношения < равносильна утверждению:

(m ≤ n)&(n ≤ m)(m=n) (*)

Для доказательства (*) докажем вначале более общую теорему.

Теорема 2. Если А и В – множества, функции fB^A и gA^B взаимно однозначны, то А и В можно так представить в виде суммы непересекающихся множеств А=А₁А₂, В=В₁В₂, что f ¹(А₁)= В₁, g¹(B₂)= A₂.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Назовем элемент aA продолжаемым, если аg¹(B) и g^c(a)f ¹(А). Для продолжаемого элемента а положим a*=f ^c(g^c(a)) и назовем а* продолжением элемента а.

Построим максимальную последовательность продолжений элемента а. Обозначим через n(a) такое наибольшее натуральное число (если оно существует), что найдется последовательность длины n(a), образованная из а и всех его продолжений. Если же такого числа нет, т.е. для каждого натурального k существует последовательность из k членов, состоящая из продолжений элемента а, положим n(a)=N. Последовательность, заданная формулами φ₀(a)=a, φ_j+1(a)=φ_j(a)* для jn(a) и будет искомой максимальной последовательностью продолжений элемента а. Если элемент а непродолжаем, положим n(a)=1 и φ₀(a)=a.

Если n(a) – конечное число, обозначим S(a)=φ_n(a)-1(a).

Обозначим теперь ,А₁=А – А₂, В₁=f ¹(А₁), B₂=B – B₁.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что g¹(B₂)=А₂, т.е.

bB₂g(b)А₂ (8)

А₂g¹(B₂) (9)

Для доказательства импликации (8) возьмем bB₂, тогда bf ¹(A₁). Пусть a=g(b). Если bf ¹(A), то элемент а непродолжаем, значит, S(a)=a и по определению aA₂. Если bf ¹(A), то bf¹(A₂), и тогда b=f(a'), где a'A₂.

Очевидно, что a'=f ^C(g^C(a')), т.е. a'=а*, откуда а*A₂. Если а* имеет бесконечную последовательность, то и а имеет такую последовательность, и, значит, аA₂. В противном случае S(a*)=S(a) и снова аA₂.

Докажем включение (9). Возьмем аA₂. Если элемент а продолжаем, то a=g(f(a*) и потому а*A₂. То же верно в случае n(a)=N, т.к. а* тогда имеет бесконечную последовательность продолжений. Поэтому в обоих случаях а*A₁, f(a*)f ¹(A₁) и, следовательно, f(a*) B₂, откуда a=g(f(a*)) g¹(B₂).

Если элемент а непродолжаем, то S(a)=a, а т.к. аA₂, то а g¹(B). Если бы элемент а принадлежал g¹(B₁), то по определению множества B₁ он имел бы вид g(f(a')), т.е. был бы продолжаемым вопреки предположению. Поэтому аg¹(B₂), что требовалось доказать.

В качестве следствия докажем теорему Кантора-Бернштейна.

Теорема 3. Если m ≤ n и n ≤ m, то m=n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Т.к.m ≤ n, то существует взаимно однозначная функция f, отображающая А на часть множества В. Т.к. n≤ m, то существует взаимно однозначная функция f, отображающая А на часть множества В. Т.к. n ≤ m, то существует взаимно однозначная функция g, отображающая В на часть множества А. По теореме 2 множества А и В можно представить в виде А=А₁А₂, В=В₁В₂, где А₁ и А₂, а также В₁ и В₂ не пересекаются, и f ¹(A₁)=B₁, g¹(B₂)=A₂. Значит, A₁~B₁, A₂~B₂, откуда А~В.

Теорему Кантора-Бернштейна можно обобщить.

Пусть R – отношение эквивалентности в семействе 2^А, обладающее следующими свойствами:

[(f – взаимно однозначная функция)&

& (10)

(X₁∩X₂=0=Y₁∩Y₂)&(X₁RY₁)&(X₂RY₂)(X₁X₂) R (Y₁Y₂) (11)

Теорема 4 (Банах). Если отношение эквивалентности R с полем 2^А удовлетворяет условиям (10), (11) для любых подмножеств множества А и если Х находится в отношении R к некоторому подмножеству множества Y, а Y находится в отношении R к некоторому подмножеству множества Х, то XRY.

Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть XRY₁, где Y₁Y,

Y RX₁, где X₁X.

Согласно (10), существуют такое взаимно однозначные функции f и g, что f отображает X в Y₁ и ZRf ¹(Z) для каждого ZX, а g отображает Y в X₁ и TRg¹(T) для каждого TY. По теореме 2 существуют такие разбиения X=X'X'', Y=Y'Y'' на непересекающиеся множества, что Y'=f¹(X'), X''=g¹(Y''). Т.к. X'X, то X'Rf ¹(X'), т.е. X'RY'. Аналогично X''RY''. Тогда из (11) следует, что XRY, и теорема доказана.

Приведем два примера отношений, удовлетворяющим условиям (10) и (11).

Пример 1. Отношение равномощности между подмножествами множества А. Теорема 4 для этого отношения совпадает с теоремой Кантора-Бернштейна.

Пример 2. Пусть A=ξⁿ. Два множества X и Y, содержащиеся в А, называются эквивалентными относительно конечного разбиения и записывают , если существуют натуральное числоk и последовательности

X₀, … , X_k-1

Y₀, … , Y_k-1 , для которых ,,,

0 ≤ I < j < k, причем множества X_i и Y_i изометричны при i < k.

Теорема 5. Отношение ~_fin обладает свойствами (10) и (11) и является отношением эквивалентности с полем 2^А.

Доказательство опускаем.

Докажем еще одну теорему об отображениях, обобщающую (как и теорема 2) теорему Кантора-Бернштейна.

Теорема 6 (о среднем значении). Пусть A, B, C, A', B' – такие множества, что А  С  В, A'  B', А ~ A', В ~ B'. Тогда существует такое множество С', что A'  С'  B' и С ~ С'.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что существует функция h, отображающая А в А' и такая, что сужение взаимно однозначно (12)

(13)

Действительно, если h обладает этими свойствами, то искомым множеством С будет .

Положим

где X – произвольное подмножество множества B, а f и g – такие взаимно однозначные функции, что и . Так определенная функция h обладает свойством (12), если

(14)

В самом деле, при выполнении этого условия для всех и .

Функция h обладает свойством (13), если, кроме (14), еще

(15)

т.к. .

Оба условия (14) и (15) выполняются, если

(16)

Для завершения доказательства достаточно показать, что существует множество , удовлетворяющее (15). Для этого обозначим и заметим, что .

Функция F, отображающая 2^в в 2^В и удовлетворяющая этому условию, называется монотонной функцией подмножеств множества B. Итак, осталось доказать следующую лемму.

Лемма 7. Для каждой монотонной функции подмножеств данного множества B существует также множество X, что F(x)=X.

Построим это множество X. Пусть .

K ≠0, поскольку . Покажем, что удовлетворяет условию F(x)=X.

В самом деле, , и тогда в силу монотонности . Отсюда для каждого и поэтому . Таким образом, .

Но из монотонности следует еще, что и, значит, , отсюда . Поэтому , что и требовалось доказать.

Теорема Кизтози-Бертлойне вытекает из теоремы о среднем значении.

В самом деле, если m ≤ n, то существуют такие множества X,Y, что , и . Если, кроме того, предположить, что n ≤ m, то Y содержит подмножество Z мощности m.

Полагая в точке G , A=X и C=Y, получаем такое множество C', что и . Поэтому C'=Z и , т.е. и, следовательно, m=n.