
- •Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества.
- •§1. Натуральные числа.
- •§2. Определения по индукции.
- •§3. Отображение множества nn на n и связанные с ним отображения.
- •§4. Конечные и бесконечные множества.
- •§5. Теорема д. Кёнига.
- •§6. Графы. Теорема Рамсея.
- •Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения.
- •§1. Бесконечные суммы и произведения.
- •§2. Операции на бесконечных последовательностях множеств.
- •§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.
- •§5. Обобщённые декартовы произведения.
- •§6. Декартовы произведения топологических пространств.
- •§ 7. Теорема Тихонова.
- •§8. Приведенные Декартовы произведения.
- •§ 9. Обратные системы и их пределы.
- •§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.
- •§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
- •§12. Теория представления дистрибутивных решеток.
- •II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.
- •III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.
- •Глава V. Теория кардинальных чисел.
- •§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.
- •§ 2. Счетные множества.
- •§ 3. Шкала кардинальных чисел.
- •§ 4. Арифметика кардинальных чисел.
- •§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.
- •§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.
- •§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел.
- •§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.
- •Глава VI. Линейно упорядоченные множества.
- •§ 1. Введение.
- •§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества.
- •§3. Типы ω (омега
- •Λ (лямбда
- •§ 4. Арифметика порядковых типов.
- •§ 5. Лексикографический порядок.
- •Литература
§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.
Введем отношение «меньше» для кардинальных чисел.
Определение. Кардинальное число m не больше кардинального числа n, т.е. m ≤ n, если каждое множество мощности m равномощно некоторому подмножеству множества мощности n.
Еслиm
≤ n
m ≠ n , то говорят, что m < n (или n > m).
Например.
n < α (1)
m < 2m (2)
Для доказательства (2) заметим, что m ≤ 2m, потому что множество А мощности m равномощно части множества 2А, составленной из всех одноэлементных множеств. Вместе с тем m ≠ 2m в силу теоремы 2 § 3.
°Теорема 1. Если
функция f
определена на множестве Х и f
1(X)=Y,
то
.
Y
Y=f'(x)
X
x1
………… xn
множество уровня
Таким образом,
каждое множество уровня имеет вид:
.
Т.к. все множества
уровня попарно не пересекаются и непусты,
то согласно аксиоме выбора, существует
множество А,
содержащее точно по одному элементу из
каждого множества уровня. Следовательно,
А
равномощно множеству множеств уровня,
и, значит, множеству f
1(X).
Поскольку А
– подмножество множества Х,
отсюда следует, что
.
Пример.
Проекция плоского множества Q
на произвольную прямую имеет мощность
.
Множества уровня здесь – произведенияQ
и J,
где J
– прямая, параллельная направлению
проектирования.
Замечание. Мы пишем m ≤ *n, если m=0 или если (каждое) множество мощности m является образом (каждого) множества мощности n. Из теоремы 1 легко следует, что {m ≤ n}≡{m ≤ *n}. При доказательстве этой эквивалентности используется аксиома выбора, без которой не удается доказать даже такого интуитивно очевидного утверждения, что условия m ≤ *n и n < m несовместимы.
Отношение ≤ обладает свойством, известным нам из арифметики:
транзитивность (m ≤ n)&(n ≤ ƿ)(m ≤ ƿ), (3)
монотонность
(m ≤ n) (m·ƿ ≤ n·ƿ), (5)
(m ≤ n) (mƿ ≤ nƿ), (6)
(m ≤ n) (ƿ m ≤ ƿ n). (7)
Свойство (3) означает транзитивность, а (4)-(7) – монотонность сложения, умножения и возведения в степень.
Докажем, например, (3). Пусть A, B, C – множества мощностей m, n, ƿ соответственно. По условию А равномощно части В1 множества В, а В равномощно части С1 множества С. Пусть функции f и g устанавливают равномощности А ~ В1 и В ~ С1. Суперпозиция g◦ f взаимно однозначно отображает А на часть множества С1 и поэтому m ≤ ƿ.
Для отношения < законы монотонности уже неверны. Например, 2 < α, но 2+α=α+α=α·α=2α. Аналогично 2 < 3, но 2α = 3α (смотри § 6).
Законы, обратные законам (4)-(7), называются в арифметике натуральных чисел правилами сокращения для отношения ≤ и соответственно операций сложения, умножения и возведения в степень. Как известно, для арифметики они верны (если предположить, что ƿ>1).
В арифметике произвольных кардинальных чисел все эти правила ложны: достаточно, например, взять m=2, n=3, ƿ=α.
Зато правила сокращения для отношения < и операций сложения, умножения и возведения в степень верны. Доказательство их можно легко получить из следующего закона трихотомии, который будет доказан (с помощью аксиомы выбора) в главе 8: для произвольных кардинальных чисел m и n либо m ≤ n, либо n ≤ m.
В оставшейся части параграфа обсудим проблему асимметрии отношения <. Эта проблема исследовалась еще Кантором (однако ему не удалось решить ее до конца) и положила начало целому ряду интересных исследований.
Асимметрия отношения < равносильна утверждению:
(m ≤ n)&(n ≤ m)(m=n) (*)
Для доказательства (*) докажем вначале более общую теорему.
Теорема 2. Если А и В – множества, функции fBA и gAB взаимно однозначны, то А и В можно так представить в виде суммы непересекающихся множеств А=А1А2, В=В1В2, что f 1(А1)= В1, g1(B2)= A2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Назовем элемент aA продолжаемым, если аg1(B) и gc(a)f 1(А). Для продолжаемого элемента а положим a*=f c(gc(a)) и назовем а* продолжением элемента а.
Построим максимальную последовательность продолжений элемента а. Обозначим через n(a) такое наибольшее натуральное число (если оно существует), что найдется последовательность длины n(a), образованная из а и всех его продолжений. Если же такого числа нет, т.е. для каждого натурального k существует последовательность из k членов, состоящая из продолжений элемента а, положим n(a)=N. Последовательность, заданная формулами φ0(a)=a, φj+1(a)=φj(a)* для jn(a) и будет искомой максимальной последовательностью продолжений элемента а. Если элемент а непродолжаем, положим n(a)=1 и φ0(a)=a.
Если n(a) – конечное число, обозначим S(a)=φn(a)-1(a).
Обозначим теперь
,А1=А
– А2,
В1=f
1(А1),
B2=B
– B1.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что g1(B2)=А2, т.е.
bB2g(b)А2 (8)
А2g1(B2) (9)
Для доказательства импликации (8) возьмем bB2, тогда bf 1(A1). Пусть a=g(b). Если bf 1(A), то элемент а непродолжаем, значит, S(a)=a и по определению aA2. Если bf 1(A), то bf1(A2), и тогда b=f(a'), где a'A2.
Очевидно, что a'=f C(gC(a')), т.е. a'=а*, откуда а*A2. Если а* имеет бесконечную последовательность, то и а имеет такую последовательность, и, значит, аA2. В противном случае S(a*)=S(a) и снова аA2.
Докажем включение (9). Возьмем аA2. Если элемент а продолжаем, то a=g(f(a*) и потому а*A2. То же верно в случае n(a)=N, т.к. а* тогда имеет бесконечную последовательность продолжений. Поэтому в обоих случаях а*A1, f(a*)f 1(A1) и, следовательно, f(a*) B2, откуда a=g(f(a*)) g1(B2).
Если элемент а непродолжаем, то S(a)=a, а т.к. аA2, то а g1(B). Если бы элемент а принадлежал g1(B1), то по определению множества B1 он имел бы вид g(f(a')), т.е. был бы продолжаемым вопреки предположению. Поэтому аg1(B2), что требовалось доказать.
В качестве следствия докажем теорему Кантора-Бернштейна.
Теорема 3. Если m ≤ n и n ≤ m, то m=n.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Пусть
.
Т.к.m
≤ n,
то существует взаимно однозначная
функция f,
отображающая А
на часть множества В.
Т.к. n≤
m,
то существует взаимно однозначная
функция f,
отображающая А
на часть множества В.
Т.к. n
≤ m,
то существует взаимно однозначная
функция g,
отображающая В
на часть множества А.
По теореме 2 множества А
и В
можно представить в виде А=А1А2,
В=В1В2,
где А1
и А2,
а также В1
и В2
не пересекаются, и f
1(A1)=B1,
g1(B2)=A2.
Значит, A1~B1,
A2~B2,
откуда А~В.
Теорему Кантора-Бернштейна можно обобщить.
Пусть R – отношение эквивалентности в семействе 2А, обладающее следующими свойствами:
[(f
– взаимно однозначная функция)&
&
(10)
(X1∩X2=0=Y1∩Y2)&(X1RY1)&(X2RY2)(X1X2) R (Y1Y2) (11)
Теорема 4 (Банах). Если отношение эквивалентности R с полем 2А удовлетворяет условиям (10), (11) для любых подмножеств множества А и если Х находится в отношении R к некоторому подмножеству множества Y, а Y находится в отношении R к некоторому подмножеству множества Х, то XRY.
Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть XRY1, где Y1Y,
Y RX1, где X1X.
Согласно (10), существуют такое взаимно однозначные функции f и g, что f отображает X в Y1 и ZRf 1(Z) для каждого ZX, а g отображает Y в X1 и TRg1(T) для каждого TY. По теореме 2 существуют такие разбиения X=X'X'', Y=Y'Y'' на непересекающиеся множества, что Y'=f1(X'), X''=g1(Y''). Т.к. X'X, то X'Rf 1(X'), т.е. X'RY'. Аналогично X''RY''. Тогда из (11) следует, что XRY, и теорема доказана.
Приведем два примера отношений, удовлетворяющим условиям (10) и (11).
Пример 1. Отношение равномощности между подмножествами множества А. Теорема 4 для этого отношения совпадает с теоремой Кантора-Бернштейна.
Пример
2. Пусть
A=ξn.
Два множества X
и Y,
содержащиеся в А,
называются эквивалентными относительно
конечного разбиения и записывают
,
если существуют натуральное числоk
и последовательности
X0, … , Xk-1
Y0,
… , Yk-1
, для которых
,
,
,
0 ≤ I < j < k, причем множества Xi и Yi изометричны при i < k.
Теорема 5. Отношение ~fin обладает свойствами (10) и (11) и является отношением эквивалентности с полем 2А.
Доказательство опускаем.
Докажем еще одну теорему об отображениях, обобщающую (как и теорема 2) теорему Кантора-Бернштейна.
Теорема 6 (о среднем значении). Пусть A, B, C, A', B' – такие множества, что А С В, A' B', А ~ A', В ~ B'. Тогда существует такое множество С', что A' С' B' и С ~ С'.
Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Достаточно показать,
что существует
функция h,
отображающая А
в А'
и такая, что
сужение
взаимно
однозначно (12)
(13)
Действительно,
если h
обладает этими свойствами, то искомым
множеством С
будет .
Положим
где X
– произвольное
подмножество множества B,
а f
и g
– такие
взаимно однозначные функции, что
и
.
Так определенная функция h
обладает свойством (12), если
(14)
В самом деле, при
выполнении этого условия
для всех
и
.
Функция h обладает свойством (13), если, кроме (14), еще
(15)
т.к.
.
Оба условия (14) и (15) выполняются, если
(16)
Для завершения
доказательства достаточно показать,
что существует множество
,
удовлетворяющее (15). Для этого обозначим
и заметим, что
.
Функция F, отображающая 2в в 2В и удовлетворяющая этому условию, называется монотонной функцией подмножеств множества B. Итак, осталось доказать следующую лемму.
Лемма 7. Для каждой монотонной функции подмножеств данного множества B существует также множество X, что F(x)=X.
Построим это
множество X.
Пусть
.
K
≠0,
поскольку
.
Покажем, что
удовлетворяет условию F(x)=X.
В самом деле,
,
и тогда в силу монотонности
.
Отсюда
для
каждого
и
поэтому
.
Таким образом,
.
Но из монотонности
следует еще, что
и, значит,
,
отсюда
.
Поэтому
, что и требовалось доказать.
Теорема Кизтози-Бертлойне вытекает из теоремы о среднем значении.
В самом деле, если
m
≤
n,
то существуют такие множества X,Y,
что
,
и
.
Если, кроме того, предположить, что n
≤
m,
то Y
содержит подмножество Z
мощности m.
Полагая в точке G
,
A=X
и C=Y,
получаем такое множество C',
что
и
.
Поэтому C'=Z
и
,
т.е.
и, следовательно, m=n.