§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.

Введем отношение «меньше» для кардинальных чисел.

Определение. Кардинальное число m не больше кардинального числа n, т.е. mn, если каждое множество мощности m равномощно некоторому подмножеству множества мощности n.

Еслиmn

mn , то говорят, что m < n (или n > m).

Например.

n < α (1)

m < 2m (2)

Для доказательства (2) заметим, что m ≤ 2m, потому что множество А мощности m равномощно части множества 2А, составленной из всех одноэлементных множеств. Вместе с тем m ≠ 2m в силу теоремы 2 § 3.

°Теорема 1. Если функция f определена на множестве Х и f 1(X)=Y, то .

Y

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множеством уровня функции мы назовем множество всех тех элементов из Х, на которых f принимает одинаковое значение (глава 2, § 7).

Y=f'(x)

X

x1 ………… xn

множество уровня

Таким образом, каждое множество уровня имеет вид: .

Т.к. все множества уровня попарно не пересекаются и непусты, то согласно аксиоме выбора, существует множество А, содержащее точно по одному элементу из каждого множества уровня. Следовательно, А равномощно множеству множеств уровня, и, значит, множеству f 1(X). Поскольку А – подмножество множества Х, отсюда следует, что .

Пример. Проекция плоского множества Q на произвольную прямую имеет мощность . Множества уровня здесь – произведенияQ и J, где J – прямая, параллельная направлению проектирования.

Замечание. Мы пишем m ≤ *n, если m=0 или если (каждое) множество мощности m является образом (каждого) множества мощности n. Из теоремы 1 легко следует, что {mn}≡{m ≤ *n}. При доказательстве этой эквивалентности используется аксиома выбора, без которой не удается доказать даже такого интуитивно очевидного утверждения, что условия m ≤ *n и n < m несовместимы.

Отношение ≤ обладает свойством, известным нам из арифметики:

транзитивность (mn)&(nƿ)(m ƿ), (3)

монотонность

(mn) (m+ƿ n+ƿ), (4)

(mn) (m·ƿ n·ƿ), (5)

(mn) (mƿ nƿ), (6)

(mn) (ƿ m ƿ n). (7)

Свойство (3) означает транзитивность, а (4)-(7) – монотонность сложения, умножения и возведения в степень.

Докажем, например, (3). Пусть A, B, C – множества мощностей m, n, ƿ соответственно. По условию А равномощно части В1 множества В, а В равномощно части С1 множества С. Пусть функции f и g устанавливают равномощности А ~ В1 и В ~ С1. Суперпозиция g f взаимно однозначно отображает А на часть множества С1 и поэтому mƿ.

Для отношения < законы монотонности уже неверны. Например, 2 < α, но 2+α=α+α=α·α=2α. Аналогично 2 < 3, но 2α = 3α (смотри § 6).

Законы, обратные законам (4)-(7), называются в арифметике натуральных чисел правилами сокращения для отношения ≤ и соответственно операций сложения, умножения и возведения в степень. Как известно, для арифметики они верны (если предположить, что ƿ>1).

В арифметике произвольных кардинальных чисел все эти правила ложны: достаточно, например, взять m=2, n=3, ƿ=α.

Зато правила сокращения для отношения < и операций сложения, умножения и возведения в степень верны. Доказательство их можно легко получить из следующего закона трихотомии, который будет доказан (с помощью аксиомы выбора) в главе 8: для произвольных кардинальных чисел m и n либо mn, либо nm.

В оставшейся части параграфа обсудим проблему асимметрии отношения <. Эта проблема исследовалась еще Кантором (однако ему не удалось решить ее до конца) и положила начало целому ряду интересных исследований.

Асимметрия отношения < равносильна утверждению:

(mn)&(n m)(m=n) (*)

Для доказательства (*) докажем вначале более общую теорему.

Теорема 2. Если А и В – множества, функции fBA и gAB взаимно однозначны, то А и В можно так представить в виде суммы непересекающихся множеств А=А1А2, В=В1В2, что f 11)= В1, g1(B2)= A2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Назовем элемент aA продолжаемым, если аg1(B) и gc(a)f 1(А). Для продолжаемого элемента а положим a*=f c(gc(a)) и назовем а* продолжением элемента а.

Построим максимальную последовательность продолжений элемента а. Обозначим через n(a) такое наибольшее натуральное число (если оно существует), что найдется последовательность длины n(a), образованная из а и всех его продолжений. Если же такого числа нет, т.е. для каждого натурального k существует последовательность из k членов, состоящая из продолжений элемента а, положим n(a)=N. Последовательность, заданная формулами φ0(a)=a, φj+1(a)=φj(a)* для jn(a) и будет искомой максимальной последовательностью продолжений элемента а. Если элемент а непродолжаем, положим n(a)=1 и φ0(a)=a.

Если n(a) – конечное число, обозначим S(a)=φn(a)-1(a).

Обозначим теперь ,А1=А – А2, В1=f 11), B2=BB1.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что g1(B2)=А2, т.е.

bB2g(b)А2 (8)

А2g1(B2) (9)

Для доказательства импликации (8) возьмем bB2, тогда bf 1(A1). Пусть a=g(b). Если bf 1(A), то элемент а непродолжаем, значит, S(a)=a и по определению aA2. Если bf 1(A), то bf1(A2), и тогда b=f(a'), где a'A2.

Очевидно, что a'=f C(gC(a')), т.е. a'=а*, откуда а*A2. Если а* имеет бесконечную последовательность, то и а имеет такую последовательность, и, значит, аA2. В противном случае S(a*)=S(a) и снова аA2.

Докажем включение (9). Возьмем аA2. Если элемент а продолжаем, то a=g(f(a*) и потому а*A2. То же верно в случае n(a)=N, т.к. а* тогда имеет бесконечную последовательность продолжений. Поэтому в обоих случаях а*A1, f(a*)f 1(A1) и, следовательно, f(a*) B2, откуда a=g(f(a*)) g1(B2).

Если элемент а непродолжаем, то S(a)=a, а т.к. аA2, то а g1(B). Если бы элемент а принадлежал g1(B1), то по определению множества B1 он имел бы вид g(f(a')), т.е. был бы продолжаемым вопреки предположению. Поэтому аg1(B2), что требовалось доказать.

В качестве следствия докажем теорему Кантора-Бернштейна.

Теорема 3. Если mn и nm, то m=n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Т.к.mn, то существует взаимно однозначная функция f, отображающая А на часть множества В. Т.к. nm, то существует взаимно однозначная функция f, отображающая А на часть множества В. Т.к. nm, то существует взаимно однозначная функция g, отображающая В на часть множества А. По теореме 2 множества А и В можно представить в виде А=А1А2, В=В1В2, где А1 и А2, а также В1 и В2 не пересекаются, и f 1(A1)=B1, g1(B2)=A2. Значит, A1~B1, A2~B2, откуда А~В.

Теорему Кантора-Бернштейна можно обобщить.

Пусть R – отношение эквивалентности в семействе 2А, обладающее следующими свойствами:

[(f – взаимно однозначная функция)&

& (10)

(X1∩X2=0=Y1∩Y2)&(X1RY1)&(X2RY2)(X1X2) R (Y1Y2) (11)

Теорема 4 (Банах). Если отношение эквивалентности R с полем 2А удовлетворяет условиям (10), (11) для любых подмножеств множества А и если Х находится в отношении R к некоторому подмножеству множества Y, а Y находится в отношении R к некоторому подмножеству множества Х, то XRY.

Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть XRY1, где Y1Y,

Y RX1, где X1X.

Согласно (10), существуют такое взаимно однозначные функции f и g, что f отображает X в Y1 и ZRf 1(Z) для каждого ZX, а g отображает Y в X1 и TRg1(T) для каждого TY. По теореме 2 существуют такие разбиения X=X'X'', Y=Y'Y'' на непересекающиеся множества, что Y'=f1(X'), X''=g1(Y''). Т.к. X'X, то X'Rf 1(X'), т.е. X'RY'. Аналогично X''RY''. Тогда из (11) следует, что XRY, и теорема доказана.

Приведем два примера отношений, удовлетворяющим условиям (10) и (11).

Пример 1. Отношение равномощности между подмножествами множества А. Теорема 4 для этого отношения совпадает с теоремой Кантора-Бернштейна.

Пример 2. Пусть A=ξn. Два множества X и Y, содержащиеся в А, называются эквивалентными относительно конечного разбиения и записывают , если существуют натуральное числоk и последовательности

X0, … , Xk-1

Y0, … , Yk-1 , для которых ,,,

0 ≤ I < j < k, причем множества Xi и Yi изометричны при i < k.

Теорема 5. Отношение ~fin обладает свойствами (10) и (11) и является отношением эквивалентности с полем 2А.

Доказательство опускаем.

Докажем еще одну теорему об отображениях, обобщающую (как и теорема 2) теорему Кантора-Бернштейна.

Теорема 6 (о среднем значении). Пусть A, B, C, A', B' – такие множества, что А С В, A' B', А ~ A', В ~ B'. Тогда существует такое множество С', что A' С' B' и С ~ С'.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что существует функция h, отображающая А в А' и такая, что сужение взаимно однозначно (12)

(13)

Действительно, если h обладает этими свойствами, то искомым множеством С будет .

Положим

где X – произвольное подмножество множества B, а f и g – такие взаимно однозначные функции, что и . Так определенная функция h обладает свойством (12), если

(14)

В самом деле, при выполнении этого условия для всех и .

Функция h обладает свойством (13), если, кроме (14), еще

(15)

т.к. .

Оба условия (14) и (15) выполняются, если

(16)

Для завершения доказательства достаточно показать, что существует множество , удовлетворяющее (15). Для этого обозначим и заметим, что .

Функция F, отображающая 2в в 2В и удовлетворяющая этому условию, называется монотонной функцией подмножеств множества B. Итак, осталось доказать следующую лемму.

Лемма 7. Для каждой монотонной функции подмножеств данного множества B существует также множество X, что F(x)=X.

Построим это множество X. Пусть .

K ≠0, поскольку . Покажем, что удовлетворяет условию F(x)=X.

В самом деле, , и тогда в силу монотонности . Отсюда для каждого и поэтому . Таким образом, .

Но из монотонности следует еще, что и, значит, , отсюда . Поэтому , что и требовалось доказать.

Теорема Кизтози-Бертлойне вытекает из теоремы о среднем значении.

В самом деле, если m n, то существуют такие множества X,Y, что , и . Если, кроме того, предположить, что n m, то Y содержит подмножество Z мощности m.

Полагая в точке G , A=X и C=Y, получаем такое множество C', что и . Поэтому C'=Z и , т.е. и, следовательно, m=n.