§ 4. Арифметика кардинальных чисел.

Определим операцию сложения, умножения и возведения в степень для кардинальных чисел. Определения будут даны так, чтобы для конечных кардинальных чисел (т.е. для О и натуральных чисел ) они совпадали с обычными арифметическими операциями.

Определение 1. Кардинальное число m называется суммой чисел n₁ и n₂, т.е. m=n₁ + n₂, если каждое множество мощности m можно представить в виде суммы 2-х непересекающихся множеств, одно из которых имеет мощность n₁, а другое n₂.

m

Лемма 1. Для двух произвольных множеств А₁ и А₂ существуют такие множества В₁ и В₂, что

А₁ ~В₁

А₂ ~В₂ (*)

В₁ ∩ В₂

Действительно, возьмем а₁ ≠ а₂ (например, а₁=0, а₂={0}).

Тогда множества В₁={а₁}×А₁ и В₂={а₂}×А₂ искомые (§ 1, 4).

Теорема 2. Для каждой пары кардинальных чисел n₁, n₂ существует сумма n₁+n₂.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и множестваВ₁, В₂ удовлетворяют условиям (*) леммы 1. Тогда распадается на два непересекающихся множества мощностей соответственноn₁ и n₂.

Каждое множество, равномощное множеству , очевидно, обладает этим свойством. Значит,, что и т.д. Попутно мы доказали, что, если.

Теорема 3. Сложение кардинальных чисел коммутативно и ассоциативно, т.е. для произвольных кардинальных чисел n₁, n₂ и n₃

n₁+n₂ = n₂+n₁ (1)

n₁+(n₂+n₃) = (n₁+n₂)+n₃ (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если , то, где,,.

Т.к. , тои равенство (1) доказано. (2) доказывается аналогично.

Пример. Из теоремы 3 и 4 § 2 следует, что

α + α = α, n + α = α (3)

Определение 2. Кардинальное число m называется произведением кардинальных чисел n₁ и n₂, т.е. m = n₁·n₂, если каждое множество мощность m равномощно декартову произведению А₁×А₂, где ,.

Таким образом, .

Ясно, что для произвольных чисел n₁ и n₂ произведение n₁·n₂ всегда существует.

Определение 2 обобщает на случай произвольных кардинальных чисел обычное арифметическое произведение: например, 3·4 – это количество предметов, которые можно разложить на 3 группы по 4 предмета, т.е. количество элементов множества А·В, где А имеет 3, а В – 4 элемента.

Теорема 4. Умножение кардинальных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, т.е. для произвольных кардинальных чисел n₁, n₂, n₃

n₁·n₂ = n₂·n₁ (4)

n₁· (n₂·n₃) = (n₁·n₂)·n₃ (5)

n₁· (n₂+n₃) = (n₁·n₂)+( n₁·n₃) (6)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (4) и (5) непосредственно следует из формул (2) и (4) § 1, равенство (6) – из формул ,(глава 2, § 4).

Теорема 5. Число 1 играет роль единицы для умножения, т.е. для произвольного n

n · 1 = n (7)

Это непосредственно следует из формул (3) § 1.

Пример. Из теоремы 5 § 2 получаем

α · α = α, α · n = α (8)

Обозначимn-кратное произведение m·m·…·m символом mⁿ (n –

n

простое).

Согласно примеру 2, mⁿ является мощностью множества всех последовательностей <a₁, …,a_n> длины n, где a₁, …,a_n – элементы множества А мощности m.

Символически (глава 2, § 6) .

Определение 3. Кардинальное число m называется степенью с основанием n и показателем ƿ, т.е.

m=n^ƿ,

если каждое множество мощности m равномощно множеству А^В, где иƿ.

Таким образом, .

Ясно, что для любой пары кардинальных чисел n и ƿ степень n^ƿ всегда существует.

Теорема 6. Для произвольных кардинальных чисел n, ƿ, q

n^ƿ+q = n^ƿ · n^q (9)

(n·ƿ) ^q = n^q ·ƿ ^q (10)

(n^ƿ) ^q = n ^ƿ·^q (11)

n¹ = n (12)

1ⁿ = 1 (13)

Эти равенства непосредственно следуют из формул (4), (8)-(10) § 1.

Теорема 7. Если множество А имеет мощность m, то множество 2^А всех подмножеств множества А имеет мощность 2^m, т.е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 2^m есть мощность множества {0, 1}^A всех функций f, определенных на А и принимающих значения 0 и 1. Каждая такая функция однозначно определяется множеством X_f тех а, для которых f(a)=1 (f называется характеристической функцией этого множества, смотри главу 4, § 2). Различным функциям f₁ и f₂ соответствуют различные множества .

Сопоставляя функции множество, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между множествами{0, 1}^A и 2^А.