§ 3. Шкала кардинальных чисел.

Теперь мы докажем, что кроме конечных кардинальных чисел и числа а существует бесконечно много других кардинальных чисел. Для этого докажем теорему, играющую большую роль во многих разделах теории множеств.

Теорема 1 (о диагонали (Кантор)). Если область определения функциисодержится в, и значениям функциислужит подмножество множества, то множествоне является значением функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы должны показать, что для всех. Из определения множестваследует, что для. Если, получается противоречие.

В случае теорема 1 имеет наглядную геометрическую интерпритацию.

Представим множество в виде квадрата (смотреть главуII, §4) и рассмотрим в нем множество . Тогда- проекция на ось одинаттех точек из, абсциссы которых равны,- проекция на ось ординат множества тех точек диагонали квадрата, которые не принадлежат. Из такого геометрического представления совершенно очевидно, чтодля всех. В самом деле :

если , то, но,

если же , то, но.

Эта интерпритация объясняет название «теоремы о диагонали».

Разница в этом предельном случае будет хотя бы в одну точку .

, ,.

Применим теорему 1 для доказательства существования различных бесконечных мощностей.

Теорема 2. Множество не равномощно ни самому, ни его подмножеству.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, в противном случае существовала бы взаимно однозначная функция с областью определения в, значениями которой были бы все подмножества множества, а это противоречит теореме 1.

Теорема 3. Никакие два из множеств

(1)

не равномощны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим -е множество этой последовательности символом. Предположим, что существуют такиеи, чтоиравномощно подмножеству.

Ясно, что тогда будет равномощно некоторой части множества, а именно той части, которая состоит из всех одноэлементных множеств, где.

Отсюда следует, что множество также равномощно некоторому подмножеству множества.

Повторив это рассуждение достаточное число раз, придем к заключению, что каждое из множеств равномощно какому-то подмножеству множества, а это противоречит теореме 2, т.к..

Теорема 4. Пусть семейство множеств обладает свойством: для каждогосуществует множество, не ранвомощное никакому подмножеству множества. (2)

Тогда сумма не равномощна никакомуи никакому его подмножеству.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что . Тогда существует такая взаимно однозначная функция, что. Согласно (2), существует множество, не равномощное никакому подмножеству множества. Т.к., то, т.е., откуда. Это противоречие и доказывает теорему.

Из теорем 3 и 4 следует, что различных бесконечных кардинальных чисел бесконечно много. Исходя из множества натуральных чисел, имеющего мощность, построим множества

(3),

среди которых (согласно теореме 3) нет ни одной пары равномощных. Таким способом можно получить бесконечно много различных кардинальных чисел.

Из аксиомы замены вытекает существование семейства А, элементами которого служат все множества (3).

Семейство А в силу теоремы 3 обладает свойством (2). Тогда по теореме 4 мощность суммы отлична от мощностей любого из множеств (3) и их подмножеств. Снова применяя теорему 3, получаем последовательность

(4),

каждые два множества которой имеют различные мощности и ни одно из них не равномощно никакому из множеств (3).

Таким образом, получаем бесконечно много новых кардинальных чисел.

Другие кардинальные числа получаем, беря семейство В всех множеств (3) и (4) и строя последовательность

.

Этот процесс можно продолжать бесконечно. Отсюда видно, что шкала всех бесконечных кардинальных чисел намного богаче шкалы конечных мощностей (которая совпадает со шкалой целых положительных чисел).

Отметим дальнейшие следствия теоремы 2.

Теорема 5. Не существует такого семейства множеств , которое для каждого множествасодержало бы множество, равномощное множеству.

По теореме 2 множество не равномощно никакому подмножеству множестваи, значит, не равномощно никакому подмножеству, принадлежащему(поскольку изследует).

Теорема 6. Не существует множества всех множеств.

В противном случае это множество было бы множеством из теоремы 5.

Теорема 6 снова указывает, что нельзя приянть аксиому, утверждающую существование для каждой высказывательной функции множества, состоящего из элементов, удовлетворяющих этой функции (смотреть главуII, §3).

Теорема 5 еще раз подтверждает большое разнообразие кардинальных чисел: их так много, что нельзя образовать множества, содержащего по крайней мере по одному множеству каждой мощности.