§2. Определения по индукции.

Наиболее характерной особенностью арифметики натуральных чисел является возможность определять понятия с помощью индукции. Простейший случай представляет собой определение последовательности (члены которой принадлежат некоторому множеству ), удовлетворяющий равенствам:

a) где афункция, отображающаяв, ().

b)

Это определение по индукции с параметром пробегающим множество

Схемы (a) и (b) соответствуют переходу от « к », т.е. значение(илизависит от значения(или. Значениеможет зависеть от всех значений, где(т.е..

В случае индукции с параметрами значение может зависеть от всех значений, гдеили даже от всех значений, гдеи. Таким образом, мы приходим к следующим схемам определения его индукции:

c)

d)

В схеме (c) и где - множество конечных последовательностей с членами из

В схеме (d) и где- множество функций со значениями ви областью определения в

Примеры определения по индукции.

Пример 1. Функция сложения

Это определение попадает под схему (b), где и

Пример 2. Функция

Это определение попадает под схему (a), где

Пример 3. Пусть в схеме (b) Тогда

Функцию будет обозначатьи называть -й итерацией функции (Итерация – повторное (-е) использование одного и того же).

Таким образом,

Пример 4. Пусть и пусть в схеме (b):

Тогда

Функция определённая по такой схеме, обозначаетсяАналогично определяетсяи т.п.

Очевидно, что схема (d) наиболее общая из всех упомянутых здесь схем. Это означает, что при подходящем выборе функций иможно получить из (d) любую из схем (a), (b), (c). Например, возьмём в качестве функцию, определённую равенством:

для Получим из (d) схему (b).

Покажем теперь, что схему (d) в свою очередь можно свести к схеме (a). Пусть и- функции, принадлежащие соответственноии пусть-функция, удовлетворяющая схеме (d). Покажем, что последовательность , заданную формулойможно определить по схеме (a).

Очевидно, что для каждогоПервый член последовательностиравент.е. множеству:

.

Связь между изадаётся формулой:

причём

Отсюда видно, что последовательность можно определить схемой (a), заменяя в этой схеме на, элементмножествоми полагая

для

Теперь докажем существование и единственность функции, удовлетворяющей равенствам (a). Такая теория позволяет нам пользоваться определениями по индукции по схеме (a). Согласно сделанному выше замечанию, отсюда будет следовать существование функций, удовлетворяющих равенствам (b), (c), (d). Единственность этих функций доказывается так же, как и для схемы (a), и в дальнейшем мы будем пользоваться определениями по индукции по любой из схем (a)-(d).

Теорема 1. Если - произвольное множество,и, то существует одна и только одна последовательность, удовлетворяющая равенствам (a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность. Пусть равенствам (a) удовлетворяют две последовательности и. Рассмотрим множество. Из (a) следует, что множество K индуктивно, поэтому и.

Существование. Пусть - высказывательная функция,a - высказывательная функция вида:

(F есть функция)&

Другими словами, -функция, определённая на множестве чисел, для которойидля всех.

Докажем по индукции, что существует единственная функция , удовлетворяющая. Единственность доказывается так же, как единственность последовательности. Докажем существование функции. Длядостаточно взять в качествемножество. Еслииудовлетворяет, тоудовлетворяет.

В качестве возьмём множество таких пар, что,и.

Т.к. - единственная функция, удовлетворяющая, тобудет функцией. Дляимеем.

Если , то, по определению функции , откуда.

Часто определяются по индукции не одна, а одновременно несколько функций (со значениями из одного и того же множества ), например:

где ; .

Такое определение также сводится к предыдущим определениями. Достаточно заметить, что для последовательности .

Справедливы формулы:

, ,

где , аи- такие функции, чтодля.

Таким образом, функция определена индуктивно по схеме (a). Определим теперь функции иравенствами,. Теорему об определениях по индукции можно обобщить на случай операций. Ограничится только одним частным случаем. Пусть- такая высказывательная функция, что

,

.

Теорема 2. Для любого множества существует одна и только одна такая последовательность, чтои.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность доказывается так же, как в теореме 1. Для доказательства существования рассмотрим высказывательную функцию:

(F есть функция)

Как и в теореме 1, легко показать, что существует единственная функция, удовлетворяющая. Чтобы и дальше следовать схеме доказательства теоремы 1, мы должны быть уверены, что существует множество, содержащее все элементы вида, где. В случае теоремы 1 таким множеством было, потому что область определения высказывательной функции, которую мы тогда рассматривали, была ограничена множеством(по последней переменной). Сейчас мы докажем существование требуемого множествас помощью аксиомы заменыVII.

Из единственности функции следует, что высказывательная функцияудовлетворяет условиям аксиомыVII. Поэтому, согласно аксиоме VII, существует образ множества , полученный при помощи этой высказывательной функции. Это и будет требуемое множество, содержащее все элементы вида. Дальше доказательство проводится так же, как в теореме 1.

Пример. Пусть - высказывательная функция. Для произвольного множествасуществует такая последовательность, чтоидля каждого натурального.