§ 2. Счетные множества.

Пусть - конечное множество, содержащееэлементов, тогда теорема 6 § 1 выполняется, если положить.

В дальнейшем кардинальное число конечного множества будем отождествлять с числом его элементов.

Таким ообразом, теория мощностей конечных множеств не выводит нас за рамки арифметических натуральных чисел. Новые ситуации возникают только тогда, когда мы переходим к рассмотрению бесконечных множеств.

О п р е д е л е н и е. Множество называется счетным, если оно конечно или равномощно множеству кардинальных чисел.

Очевидно, что любые два бесконечные счетные множества равномощны (смотреть теорему 1, § 1). Кардинальное число бесконечных счетных множеств обозначим через а (- мощность радя натуральных множеств).

В главе III мы определили последовательность как функцию, областью определения которой служит множество натуральных чисел. Из этого определения следует, что бесконечное множество счетно тогда и только тогда, когда оно служит множеством значений последовательности с попарно различными числами.

Допуская некоторую вольность, можно сказать, что множество счетно, если его элементы можно «расположить» в бесконечную последовательность.

Теорема 1. Каждое непустое счетное множество является множеством значений некоторой бесконечной последовательности. И обратно, множество значений произвольной бесконечной последовательности счетно и непусто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Конечное множество есть множество значений бесконечной последовательности.

.

Бесконечное счетное множество есть по определению множество значений некоторой бесконечной последовательности.

Для доказательства обратного утверждения рассмотрим множество значений бесконечной последовательности.

Пусть и, гдеили же, если нет такого, что.

По индукции легко доказать, что для каждого существует такое, что. Отсюда следует, чтои, таким образом, все числа последовательностиразличны. Осталось показать, что каждый элемент множествабудет числом последовательности.

Предположим, что множество не является членом последовательности } непусто, и пусть - наименьший его элемент. Очевидно, что.

Если , то- член последовательности, например,. Пусть.

Наименьшее такое число , что, как раз и равно.

По определению последовательности тогда, что противоречит выбору. Теорема доказана.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Любое подмножество счетного множества счетно.

Теорема 3. Сумма двух счетных множеств счетна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. случай, когда одно из данных множеств пусто, не представляет трудности, будем считать, что - множество значений последовательности,

- множество значений последовательности .

Тогда сумма есть множество значений полседовательности, и поэтому счетно.

Можно доказать по индукции, что сумма любого конечного числа счетных множеств счетно.

Следствие 4. Сумма конечного и счетного множества счетна.

Теорема 5. Декартово произведение двух счетных множеств счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если исчетные и бесконечные, то,(в силу теоремы 1 §3, главаIII).

Если одно из множеств ,или оба они конечны, торавномощно некоторому подмножеству произведения, т.е. подмножеству множества.

Таким образом, утверждение данной теории следует из теоремы 2.

Теорема 7. Если - бесконечная последовательность, члены которой – также бесконечные последовательности, то множествоэлементов x, являющихся членами последовательности , счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению .

Таким образом, - это множество значений последовательности, определенной равенством.

°Теорема 8. Если - последовательность, члены которой – непустые счетные множества, то суммасчетна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через множество последовательностей, для которыхбудет множеством значений. По условиюдля каждого.

Тогда, согласно аксиоме выбора, существует такая последовательность , чтодля каждого. Таким образом, суммаесть множество тех, для которых существуют такие, что. В силу теоремы 7 это множество счетно.

Замечание. Необходимость применения аксиомы выбора в доказательстве теоремы 8 обусловлена тем, что хотя для каждого множества существует бесконечная последовательность, состоящая из всех его элементов, но для данного множества таких последовательностей бесконечно много и у нас нет способа выделения какой-то одной из них. Другими словами, у нас нет способа сопоставления каждому счетному множеству бесконечной последовательности, содержащей все его элементы.

Примеры счетных множеств.

Пример 1. Множество целых чисел счетно.

Действительно, это множество представляет собой сумму , где- множество чисел. Т.к.(равномощность этих множеств устанавливает функция), то множествоиоба счетны, а тогдатакже счетна.

Пример 2. Множество рациональных чисел счетно.

В самом деле, последовательность , заданная равенством, содержит в качестве своих членов все положительные рациональные числа и только их. Значит, множество всех положительных рациональных чисел счетно, и поэтому (смотреть пример 1) множество всех рациональных чисел также счетно.

Пример 3. Множество многочленов от одной переменной с целыми коэффицентами счетно.

Действительно, каждому многочлену с целыми коэффицентами взаимно однозначно соответствует последовательность его коэффицентов, а множество всех конечных последовательностей целых чисел (согласно теореме 6) счетно.

Пример 4. Множество алгебраических чисел счетно.

Каждому многочлену соответствует конечная последовательность всех его корней: в качестве первого члена этой последовательности берем корень с наименьшим модулем и с наименьшим аргументом среди всех корней этого модуля; в качестве второго члена берем отличный от первого, с наименьшим возможным модулем и с наименьшим аргументом среди всех корней этого модуля и т.д. Согласно теореме 7, множество всех алгебраических чисел счетно.

Этот результат можно получить из теоремы 8, но тогда пришлось бы пользоваться аксиомами выбора.