II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.

III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверку аксиом топологии выполнить самостоятельно.

Для того, чтобы доказать, что пространство компактно, рассмотрим центрированное семействозамкнутых множеств.

Покажем, что .

Обозначим через семейство всех конечных произведений вида, где- произвольное натуральное число, и. Таким образом, семейство- семейство непустых замкнутых множеств. Положим.

Очевидно, что . Если, тодля некоторых, поэтому. Т.к.и, то. Следовательно,- идеал.

Покажем, что . В противном случае для некоторого множествабыло бы

, откуда , т.е., вопреки центрированности семейства.

Таким образом, в силу (10) существует простой идеал . Значит, он принадлежит. Покажем, что.

Пусть - произвольное множество, принадлежащее, и пусть- окрестность идеалаи тем более. По определению идеалатогдадля каждого; в частности,. Следовательно, каждая окрестность идеалаимеет непустое пересечение с, и поэтому, откуда, и утверждениеI. Теорема 3 доказано.

II-е утверждение справедливо, поскольку семейство открыто в(как окрестность), а его дополнениеоткрыто, т.к. оно равно, т.е. также окрестность.

Чтобы доказать III-е утверждение, предположим, что множество открыто и замкнуто в пространстве, и пусть. Т.к. каждый элемент открытого множестваимеет по крайней мере одну окрестность, содержащуюся в, тои поэтому. Следовательно, семейство, составленное из множестваи из множеств, где, имеет пустое пересечение. Поскольку оно состоит из всех замкнутых множеств, оно не центрировано, т.е. существует такое конечное подмножествосемейства, что. Тогда, т.е.имеет вид, что и требовалось доказать.

Построенное в теореме 3 пространство называется пространством Стоуна кольцаA.

Из теоремы 3 вытекает

°Следствие 4. Каждое булево кольцо с единицей изоморфно телу открыто-замкнутых множеств компактного пространства.

Глава V. Теория кардинальных чисел.

В этой и всех последующих главах мы будем использовать систему аксиом (§2, главаII) и аксиому VIII, сформулированную в §10, главе II. Как обычно, теоремы, отмеченные знаком , доказываются без аксиомы выбора.

§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.

Введем понятие равномощности множеств, одно из самых интересных и важных понятий теории множеств.

Определение. Два множества иравномощны, если существует взаимно однозначная функцияс областью определенияи множеством значений. В этом случае пишути говорят, чтоустанавливает равномощность множестви.

Пример 1. Если - конечное множество, то множестворавномощно множествутогда и только тогда, когдаимеет столько же элементов, что и. Таким образом, понятие равномощности обобщает на произвольные множества понятие равночисленности конечных множеств.

Пример 2. Пусть - интервал,

- интервал .

Функция взаимно однозначна и отображает множествона множество, т.е..

Терема 1. Для произвольных множеств ,,.

(I)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномощность множества самому себе устанавливает функция(теорема 4 , §6, главаII).

Если функция устанавливает равномощность множестви, то функцияустанавливает равномощность множестви(теорема 1 , §6, главаII).

Если функция устанавливает равномощность множестви, а функция- равномощность множестви, то суперпозицияустанавливает равномощность множестви(теорема 2 , §6, главаII).

Верны следующие формулы:

	(2)
,	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)

Мы опускаем доказательства (2-7), т.к. они не сложны (смотреть Е. Смупецкий, Л. Борковский «Элементы математики и теории множеств»). Докажем формулы (8-10).

Пусть , т.е.- функция двух переменныхи(первая пробегает множество, вторая – множество), значения которой принадлежат.

Для каждого фиксированного функция(одной переменной), определенная равенством, отображаетв, т.е. принадлежит множеству. Функция, определенная равенством, ставит в соответствие каждомуэлемент множества, т.е..

Если и- две различные функции, принадлежащие множеству, то соответсвующие им функцииитакже различны. В самом деле, если, то элементыимножестваразличны.

Каждая функция оказывается сопоставленной описанными выше способами некоторой функции, а именно функции, Определенной равенством, где.

Таким образом, сопоставляя функции функцию, мы устанавливая взаимно однозначное отображение множествана множество, т.е. формула (8) верна.

Чтобы доказать (9), заметим, что если , тодля каждогоявляется упорядоченной парой, где,.

Отсюда следует, что ,.

Легко убедиться, что, сопоставляя функциям пары, мы устанавливаем взаимно однозначное отображение множествана множество.

Наконец, чтобы доказать (10), сопоставим каждой функции уорядоченную пару сужений. Легко убедиться, что при этом множествовзаимно однозначно отображается на.

Формулы (2) и (8-10) представляют собой частные случаи следующих теорем.

Теорема 2 (закон коммутативности). Пусть . Если- перестановка множества, то (11)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим каждой функции суперпозицию. Если, тодля некоторого. Поэтому, полагая, получаемили.

1. Таким образом, соответствие, установленное равенстом , взаимно однозначно.

2. Функция принадлежит декартову произведению. В самом деле, если, то, т.е..

3. Наконец, каждую функцию, принадлежащую декартову произведению , можно представить в виде, где. Для этого достаточно взятьравной.

Теорема 3 (закон ассоциативности). Пусть . Еслии все множествапопарно не пересекаются, то

(12)

(13)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим . Это множество таких функцийс областью определения, что, если. Множествосостоит, в свою очередь, из таких функцийс областью определения, что, если. Значениефункциибудем обозначать. Это такая функция с областью определения, что.

Сопоставим функции функцию, заданную равенством

(*),

где - тот элемент множества, для которого.

Областью определения этой функции служит множество идля каждого. Следовательно,.

1) Отображение, сопоставляющее функциям функции, взаимно однозначно. В самом деле, если, то существует такая, что, и поэтому существует такой элемент, что. Тогда в силу (*).

2) Осталось показать, что каждая функция сопоставлена некоторой функции. Для этого достаточно заметить, что функция, значение которой в точкеравно, принадлежит декартову произведениюи удовлетворяет равенству (*).

Для доказательства (13) достаточно в (12) положить для каждого.

Теорема 4 (Закон возведения в степень декартова произведения). Пусть . Тогда для каждого множества

(14).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим на множестве функциюравенством.

Декартово произведение можно представить в виде суммы попарно непересекающихся множеств двумя различными способами :

,

где - множество всех пар со вторым элементом,

- множество всех пар с первым элементом .

Например, .

,

Аналогично .

Дважды применяя теорему 3, получим

(15)

(16)

Для имееми, значит,, откуда :

. Т.к. , то :,.

Из (15) получаем

(17).

Сопоставляя при данном функциифункцию, заданную равенством, убеждаемся, что, а в силу (16) :

(18).

Формула (14) непосредственно следует из (17) и (18).

Если множества иравномощны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность, или одно и то жекардинальное число. () .

(- Кантор определял (???) мощность множествакак такое его свойство, которое остается после абстрагирования от:

1. качества ??? элементов множества ,

2. от их порядка.

- двойное отрицание подчеркивает этот двойной акт абстрагирования.

Разумеется ???, этим не оправдывается понятие мощности множества или его кардинального числа, а только вводится новый термин для понятия равномощности.

В конечном счете этот термин не обязателен, поскольку теоремы теории множеств можно сформулировать так, чтобы в них шла речь не о свойствах кардинального числа (или мощности), а об отношениях между ними, и эти отношения всегда можно доказать при помощи понятия равномощности.

Однако многие теоремы теории множеств становятся более обозримыми, если они сформулированы как теоремы о кардинальных числах. Это и оправдывает введение в теорию множеств кардинальных чисел.

Легко доказывается

Теорема 5. Для того, чтобы множество ибыли равномощны, необходимо и достаточно, чтобы реляционные ??? системыибыли изоморфны.

Реляционный тип системы будем обозначать символоми называтькардинальным числом или мощностью множества .

Из теоремы 5 и аксиомы VIII (§ 10, глава II) вытекает

Теорема 6. Для произвольных множеств иусловияиэквивалентны.

Эта теоремы позволяет представить результаты о равномощности множеств в виде равенств кардинальных чисел.