
- •Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества.
- •§1. Натуральные числа.
- •§2. Определения по индукции.
- •§3. Отображение множества nn на n и связанные с ним отображения.
- •§4. Конечные и бесконечные множества.
- •§5. Теорема д. Кёнига.
- •§6. Графы. Теорема Рамсея.
- •Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения.
- •§1. Бесконечные суммы и произведения.
- •§2. Операции на бесконечных последовательностях множеств.
- •§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.
- •§5. Обобщённые декартовы произведения.
- •§6. Декартовы произведения топологических пространств.
- •§ 7. Теорема Тихонова.
- •§8. Приведенные Декартовы произведения.
- •§ 9. Обратные системы и их пределы.
- •§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.
- •§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
- •§12. Теория представления дистрибутивных решеток.
- •II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.
- •III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.
- •Глава V. Теория кардинальных чисел.
- •§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.
- •§ 2. Счетные множества.
- •§ 3. Шкала кардинальных чисел.
- •§ 4. Арифметика кардинальных чисел.
- •§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.
- •§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.
- •§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел.
- •§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.
- •Глава VI. Линейно упорядоченные множества.
- •§ 1. Введение.
- •§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества.
- •§3. Типы ω (омега
- •Λ (лямбда
- •§ 4. Арифметика порядковых типов.
- •§ 5. Лексикографический порядок.
- •Литература
II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.
III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверку аксиом топологии выполнить самостоятельно.
Для того, чтобы
доказать, что пространство
компактно, рассмотрим центрированное
семейство
замкнутых множеств.
Покажем, что
.
Обозначим через
семейство всех конечных произведений
вида
,
где
-
произвольное натуральное число, и
.
Таким образом, семейство
- семейство непустых замкнутых множеств.
Положим
.
Очевидно, что
.
Если
,
то
для некоторых
,
поэтому
.
Т.к.
и
,
то
.
Следовательно,
-
идеал.
Покажем, что
.
В противном случае для некоторого
множества
было бы
,
откуда
,
т.е.
,
вопреки центрированности семейства
.
Таким образом, в
силу (10) существует простой идеал
.
Значит, он принадлежит
.
Покажем, что
.
Пусть
-
произвольное множество, принадлежащее
,
и пусть
-
окрестность идеала
и тем более
.
По определению идеала
тогда
для каждого
;
в частности,
.
Следовательно, каждая окрестность
идеала
имеет непустое пересечение с
,
и поэтому
,
откуда
,
и утверждение
I.
Теорема 3 доказано.
II-е
утверждение справедливо, поскольку
семейство
открыто в
(как
окрестность), а его дополнение
открыто, т.к. оно равно
,
т.е. также окрестность.
Чтобы доказать
III-е
утверждение, предположим, что множество
открыто
и замкнуто в пространстве
,
и пусть
.
Т.к. каждый элемент открытого множества
имеет по крайней мере одну окрестность
,
содержащуюся в
,
то
и поэтому
.
Следовательно, семейство, составленное
из множества
и из множеств
,
где
,
имеет пустое пересечение. Поскольку
оно состоит из всех замкнутых множеств,
оно не центрировано, т.е. существует
такое конечное подмножество
семейства
,
что
.
Тогда
,
т.е.
имеет вид
,
что и требовалось доказать.
Построенное в
теореме 3 пространство
называется пространством Стоуна кольцаA.
Из теоремы 3 вытекает
°Следствие 4. Каждое булево кольцо с единицей изоморфно телу открыто-замкнутых множеств компактного пространства.
Глава V. Теория кардинальных чисел.
В этой и всех
последующих главах мы будем использовать
систему аксиом
(§2, главаII)
и аксиому VIII,
сформулированную в §10, главе II.
Как обычно, теоремы, отмеченные знаком
,
доказываются без аксиомы выбора.
§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.
Введем понятие равномощности множеств, одно из самых интересных и важных понятий теории множеств.
Определение. Два
множества
и
равномощны, если существует взаимно
однозначная функция
с областью определения
и множеством значений
.
В этом случае пишут
и говорят, что
устанавливает равномощность множеств
и
.
Пример 1.
Если
-
конечное множество, то множество
равномощно множеству
тогда
и только тогда, когда
имеет столько же элементов, что и
.
Таким образом, понятие равномощности
обобщает на произвольные множества
понятие равночисленности конечных
множеств.
Пример 2.
Пусть
- интервал
,
- интервал
.
Функция
взаимно однозначна и отображает множество
на множество
,
т.е.
.
Терема 1. Для
произвольных множеств
,
,
.
(I)
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Равномощность множества
самому себе устанавливает функция
(теорема 4 , §6, главаII).
Если функция
устанавливает равномощность множеств
и
,
то функция
устанавливает равномощность множеств
и
(теорема 1 , §6, главаII).
Если функция
устанавливает равномощность множеств
и
,
а функция
-
равномощность множеств
и
,
то суперпозиция
устанавливает равномощность множеств
и
(теорема 2 , §6, главаII).
Верны следующие формулы:
|
(2) |
|
(3) |
|
(4) |
|
(5) |
|
(6) |
|
(7) |
|
(8) |
|
(9) |
|
(10) |
Мы опускаем доказательства (2-7), т.к. они не сложны (смотреть Е. Смупецкий, Л. Борковский «Элементы математики и теории множеств»). Докажем формулы (8-10).
Пусть
,
т.е.
-
функция двух переменных
и
(первая пробегает множество
,
вторая – множество
),
значения которой принадлежат
.
Для каждого
фиксированного
функция
(одной
переменной
),
определенная равенством
,
отображает
в
,
т.е. принадлежит множеству
.
Функция
,
определенная равенством
,
ставит в соответствие каждому
элемент множества
,
т.е.
.
Если
и
- две различные функции, принадлежащие
множеству
,
то соответсвующие им функции
и
также различны. В самом деле, если
,
то элементы
и
множества
различны.
Каждая функция
оказывается сопоставленной описанными
выше способами некоторой функции
,
а именно функции
,
Определенной равенством
,
где
.
Таким образом,
сопоставляя функции
функцию
,
мы устанавливая взаимно однозначное
отображение множества
на множество
,
т.е. формула (8) верна.
Чтобы доказать
(9), заметим, что если
,
то
для каждого
является упорядоченной парой
,
где
,
.
Отсюда следует,
что
,
.
Легко убедиться,
что, сопоставляя функциям
пары
,
мы устанавливаем взаимно однозначное
отображение множества
на множество
.
Наконец, чтобы
доказать (10), сопоставим каждой функции
уорядоченную пару сужений
.
Легко убедиться, что при этом множество
взаимно однозначно отображается на
.
Формулы (2) и (8-10) представляют собой частные случаи следующих теорем.
Теорема 2 (закон
коммутативности). Пусть
.
Если
- перестановка множества
,
то
(11)
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Сопоставим каждой функции
суперпозицию
.
Если
,
то
для некоторого
.
Поэтому, полагая
,
получаем
или
.
Таким образом, соответствие, установленное равенстом
, взаимно однозначно.
Функция
принадлежит декартову произведению
. В самом деле, если
, то
, т.е.
.
Наконец, каждую функцию, принадлежащую декартову произведению
, можно представить в виде
, где
. Для этого достаточно взять
равной
.
Теорема 3 (закон
ассоциативности). Пусть
.
Если
и все множества
попарно не пересекаются, то
(12)
(13)
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Обозначим
.
Это множество таких функций
с областью определения
,
что
,
если
.
Множество
состоит, в свою очередь, из таких функций
с областью определения
,
что
,
если
.
Значение
функции
будем обозначать
.
Это такая функция с областью определения
,
что
.
Сопоставим функции
функцию
,
заданную равенством
(*),
где
-
тот элемент множества
,
для которого
.
Областью определения
этой функции служит множество
и
для каждого
.
Следовательно,
.
1) Отображение,
сопоставляющее функциям
функции
,
взаимно однозначно. В самом деле, если
,
то существует такая
,
что
,
и поэтому существует такой элемент
,
что
.
Тогда в силу (*)
.
2) Осталось показать,
что каждая функция
сопоставлена некоторой функции
.
Для этого достаточно заметить, что
функция
,
значение которой в точке
равно
,
принадлежит декартову произведению
и удовлетворяет равенству (*).
Для доказательства
(13) достаточно в (12) положить
для каждого
.
Теорема 4 (Закон
возведения в степень декартова
произведения). Пусть
.
Тогда для каждого множества
(14).
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Зададим на множестве
функцию
равенством
.
Декартово произведение можно представить в виде суммы попарно непересекающихся множеств двумя различными способами :
,
где
-
множество всех пар со вторым элементом
,
-
множество всех пар с первым элементом
.
Например,
.
,
Аналогично
.
Дважды применяя теорему 3, получим
(15)
(16)
Для
имеем
и, значит,
,
откуда :
.
Т.к.
,
то :
,
.
Из (15) получаем
(17).
Сопоставляя при
данном
функции
функцию
,
заданную равенством
,
убеждаемся, что
,
а в силу (16) :
(18).
Формула (14) непосредственно следует из (17) и (18).
Если множества
и
равномощны, то говорят, что они имеют
одинаковую мощность, или одно и то жекардинальное
число. (
)
.
(-
Кантор определял (???) мощность множества
как такое его свойство, которое остается
после абстрагирования от:
качества ??? элементов множества
,
от их порядка.
-
двойное отрицание подчеркивает этот
двойной акт абстрагирования.
Разумеется ???, этим не оправдывается понятие мощности множества или его кардинального числа, а только вводится новый термин для понятия равномощности.
В конечном счете этот термин не обязателен, поскольку теоремы теории множеств можно сформулировать так, чтобы в них шла речь не о свойствах кардинального числа (или мощности), а об отношениях между ними, и эти отношения всегда можно доказать при помощи понятия равномощности.
Однако многие теоремы теории множеств становятся более обозримыми, если они сформулированы как теоремы о кардинальных числах. Это и оправдывает введение в теорию множеств кардинальных чисел.
Легко доказывается
Теорема 5. Для
того, чтобы множество
и
были равномощны, необходимо и достаточно,
чтобы реляционные ??? системы
и
были изоморфны.
Реляционный тип
системы
будем обозначать символом
и называтькардинальным
числом или мощностью множества
.
Из теоремы 5 и аксиомы VIII (§ 10, глава II) вытекает
Теорема 6. Для
произвольных множеств
и
условия
и
эквивалентны.
Эта теоремы позволяет представить результаты о равномощности множеств в виде равенств кардинальных чисел.