§12. Теория представления дистрибутивных решеток.

Основное понятие в этой теории – понятии идеала.

Определение. Идеалом дистрибутивной решетки называется такое непустое множество, что

(1),

(2) (смотреть (II) §5, глава I )

За последнее время многие авторы вместо идеала используют понятие фильтра, т.е. подмножества множества , удовлетворяющего условиям, двойственным условиям (1), (2):

(1'),

(2').

Все приведенные ниже теоремы об идеалах можно превратить в теоремы о фильтрах простой заменой символов на &,на.

Понятие фильтра двойственно к понятию идеала, поэтому достаточно рассматривать какое-либо одно из них (смотреть Р. Сикорский «Булевы алгебры», страница 25).

Идеал называется простым, еслии для:

(3).

Пример 1. Пусть А - решетка множеств (например, всех подмножеств произвольного множества ) и- произвольный элемент суммы S(А). Семейство множествА, не содержащих элемент , образует простой идеал в А.

Если - произвольные, не совпадающие элементы суммы S(А), то семейство тех А, которые не содержат ни одного из элементов , также является идеалом, но, вообще говоря, не простым.

Пример 2. Семейство всех конечных множеств А является идеалом в А.

Пример 3. Если А - семейство всех подмножеств множества вещественных чисел, то семейство множеств Лебедевой меры образует идеал в А.

В произвольной решетке множество есть идеал, который называетсяглавным идеалом, порожденным элементом .

Мы будем пользоваться следующими общими свойствами идеалов:

(4).

Действительно, ,

.

Если , тои, в силу (2)

(5).

Действительно, .

(6) Множество таких элементов, чтодля некоторого, является идеалом и,.

В самом деле, если и, то, откуда, поскольку. Еслии, то. Таким образом,- идеал. Включениеиочевидны.

(7) Пусть идеалы дляобразуют такое монотонное семейство идеалов, что,для каждого. Тогда суммаявляется идеалом и,. (лекция “ТопологияI”, страница 33).

Действительно, если и, то оба элементапринадлежат либо, либо. В каждом из этих случаев.

Если и, то, а поэтому. Таким образом,- идеал и, очевидно,и.

Если , то существует такой идеал, что,.(- отрицание.,) (8).

Действительно, таким идеалом будет множество .

Пусть и- семейство всех идеалов, содержащихи не содержащих.

Если решетка дистрибутивна и, то каждый максимальный элементсемействаявляется простым идеалом.

В самом деле, возьмем . Если, то- собственное подмножество идеала, а тогдане принадлежит семейству. Т.к., то и, откудадля некоторого. Аналогично, если, тодля некоторого. В силу дистрибутивности решетки.

(I)

Элементы ,ипринадлежатв силу (5), а элементмы взяли из. Поэтому правая часть впринадлежит, откуда согласно (2),вопреки условию.

Таким образом, предположение, что ни , нине принадлежит, ведет к противоречию. Т.к., то. Следовательно,- простой идеал.

В главе (VII) из (7) и (8) мы получили (с помощью аксиомы выбора) следующий результат: семейство имеет максимальный элемент, т.е. существует идеал, который не является собственным подмножеством никакого идеала из.

Итак, мы ввели понятия дистрибутивной решетки, булева кольца, решетки множеств, тела множеств. Привели схему, показывающую взаимосвязь между этими понятиями:

Докажем, что каждая дистрибутивная решетка изоморфна решетке множеств, а каждое булево кольцо с 1 – телу множеств.

°Tеорема 1. Для каждой дистрибутивной решетки существует изоморфная ей решетка множеств.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - дистрибутивная решетка. Элементуставим в соответствие семействопростых идеалов, для которых.

Это соответствие взаимно однозначно. Действительно, если , то либо, либо. Тогда, согласно (9) и (10) , существует такой простой идеал, что либо, либо, т.е. такой, что либо,, либо,.

В первом случае ,, во втором случае,. В обоих случаях.

Из (1) и (4) получаем

а из (3) и (5)

Следовательно, ,.

Эти равенства доказывают, что класс, составленный из всех семейств , является решеткой множеств, изоморфной решетке.

°Теорема 2. Для каждого булево кольца существует изоморфное тело множеств.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если решетка из теоремы 1 представляет собой булево кольцо, то в ней существует нулевой элемент, единичный, и для каждоготакой элемент, чтои. При соответствииэлементу о соответствует пустое множество, а элементу- все кольцо. Т.к.и, то. Таким образом, множество всех семейство- не только решетка множеств, но и тело множеств.

Приведем для теоремы 2 еще топологическую интерпретацию. Пусть - булево кольцо с нулевым элементоми единичным, и пусть- множество всех простых идеалов кольца. Каждое из семействназовем окрестностью каждого своего элемента.

Для любого множества будем считать, что, если каждая окрестность идеаласодержит элемент из.

°Теорема 3. I. - компактное топологическое пространство.