§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.

Покажем, что каждое упорядоченное множество можно рассматривать как часть полной решетки (а именно такой, в которой выполняются основные законы алгебры множеств). Рассмотрим аналогичную проблемы для булевых колец. Для этого введем сначала общеепонятие вложения одной реляционной системы в другую.

О п р е д е л е н и е 1. Реляционная система называется подсистемой системы, еслии(т.е.).

О п р е д е л е н и е 2. Система называется расширением системы, если существует подсистемасистемы, изоморфная.

В последнем случае говорят также, что система погружается в системуи функция, устанавливающая изоморфизм системи, погружаетв.

Теорема 1. Каждое упорядоченное множество можно погрузить в семейство всех подмножеств некоторого множества (упорядоченное отношение включения) и, значит, в некоторое полное атомарное булево кольцо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим . Из транзитивности отношенияследует, что. Т.к., то. Таким образом,, откуда.

Следовательно, функция погружаетв семейство множеств, упорядоченное отношением. Это семейство, очевидно, можно расширить до семейства, где.

Расширение, описанное в теореме 1, не сохраняет, вообще говоря, граней, т.е. из равенства (или) не следует(или).

Займемся теперь вопросом, можно ли расширить множество до полной решетки с сохранением граней.

Пусть функция погружает упорядоченную системув упорядоченную систему.

О п р е д е л е н и е 3. Погружение сохраняет верхние грани, если для каждого множестваи каждой функции, для которой существует, существует такжеи. Аналогично для нижних граней.

Построим теперь расширение упорядоченного множества до полной решетки с сохранением граней.

Пусть- множество, упорядоченное отношением. Для произвольного множестваположим

,

.

Из этих определений непосредственно следует, что

(1),

и для любого(2).

Действительно, по определению , поэтому.

Доказательство второго утверждения аналогично.

(3)

Включение следует из (2). Пусть. Тогдаи тем более, поскольку. Таким образом,.

Второе равенство доказывается аналогично.

Введем теперь для упорядоченных множеств понятие сечения.

Пара множеств называется сечением упорядоченного множества, еслии.

Множество называетсянижним классом, а -верхним классом сечения.

Из этого следует, что (4).

В самом деле, каждый элемент множества находится в отношениик каждому элементу множества. Далее, в силу (3) каждая пара видаи каждая пара видаявляются сечениями. Любое сечение можно представить в любом из этих видов.

Наконец, по определению сечения, пара , гдеявляется сечением (6).

Введем отношение порядка между сечениями: . Для проверки того, что отношениездесь действительно - отношение порядка, докажем, что(7).

Пусть и. Если, то, а поэтому. Отсюдаи, значит,. Аналогично доказывается обратная к (7) импликация.

Обозначим через β - семейство всех сечений.

β - полная решетка (8).

Пусть . Обозначим :

, .

Сечение является наименьшей верхней гранью множества £. Действительно,, следовательно,для каждого.

Если для каждого, то, а поэтому. Отсюда, и тогда.

Аналогично доказывается, что сечение является наибольшей нижней гранью множества £.

(9) Функция погружаетвβ с сохранением граней.

Доказательство. Из определений следует, что . Возьмемв множестве. Тогда, а поэтомудля. Пусть сечениетаково, чтодля. Тогда, а т.к., то. Значит,для любого, откуда следует, что. Поэтому, откудаи. Таким образом,в множестве β. Для нижней грани доказательство аналогично.

Из (9) следует

Теорема 2. Каждое упорядоченное множество можно расширить с сохранением граней до полной решетки β.

Построенную выше решетку β назовем минимальным расширением упорядоченного множества .

Займемся более подробно случаем, когда - булево кольцо.

Сначала заметим, что если и- произвольные подмножества упорядоченного множества, то

(10)

Пусть теперь - решетка. Докажем, что еслии- верхние классы двух сечений в, то- множество всех элементов вида, гдедля.

Действительно, и, значит,для. Кроме того,.

Аналогично доказывается, что если и- нижние классы двух сечений в, то- множество всех элементов вида, гдедля.

Из этих замечаний и равенств (10) получаем, что если - решетка и- два ее сечения, то

,

(11).

Из определения граней в решетке β (смотреть доказательство утверждения 8) следует, что для любого упорядоченного множества и любых двух его сечений :

(12),

(13).

Наконец, пусть - булево кольцо идля произвольного множества. Если- сечение в, то- также сечение в.

Доказательство (14) самостоятельно.

Теорема 3. Минимальное расширение булева кольца является булевым кольцом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть β - минимальное расширение булева кольца . Достаточно показать, чтоβ - дистрибутивная решетка с нулями 0 и единицами и для каждого сечения существует такое сечение, что

1) ,

2) (15) (смотреть теорему из §10, главаI )

Очевидно, что нулем в β является сечение , а единицей – сечение.

Сечение , определенное в (14), удовлетворяет условиям (15). Действительно, нижний класс сеченияесть(смотреть (13)).

Единственный элемент этого множества - , поскольку.

Это доказывает первое из равенств (15), второе доказывается аналогично.

Осталось доказать закон дистрибутивности.

Т.к. для каждой решетки, достаточно показать, что еслии- три сечения в, то.

Используя (12) и (13), сводим это неравенство к виду или, согласно (11) и определению множестви:

(16)

Предположим теперь, что элементы иудовлетворяют посылке импликации (16). Тогдадля любого, откуда.

В силу произвольности элементпринадлежит. Аналогично. Т.к.удовлетворяет посылке импликации (16), тои. Это доказывает импликацию (16), а вместе с ней теорему 3.