
- •Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества.
- •§1. Натуральные числа.
- •§2. Определения по индукции.
- •§3. Отображение множества nn на n и связанные с ним отображения.
- •§4. Конечные и бесконечные множества.
- •§5. Теорема д. Кёнига.
- •§6. Графы. Теорема Рамсея.
- •Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения.
- •§1. Бесконечные суммы и произведения.
- •§2. Операции на бесконечных последовательностях множеств.
- •§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.
- •§5. Обобщённые декартовы произведения.
- •§6. Декартовы произведения топологических пространств.
- •§ 7. Теорема Тихонова.
- •§8. Приведенные Декартовы произведения.
- •§ 9. Обратные системы и их пределы.
- •§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.
- •§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
- •§12. Теория представления дистрибутивных решеток.
- •II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.
- •III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.
- •Глава V. Теория кардинальных чисел.
- •§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.
- •§ 2. Счетные множества.
- •§ 3. Шкала кардинальных чисел.
- •§ 4. Арифметика кардинальных чисел.
- •§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.
- •§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.
- •§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел.
- •§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.
- •Глава VI. Линейно упорядоченные множества.
- •§ 1. Введение.
- •§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества.
- •§3. Типы ω (омега
- •Λ (лямбда
- •§ 4. Арифметика порядковых типов.
- •§ 5. Лексикографический порядок.
- •Литература
§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
Покажем, что каждое
упорядоченное множество
можно рассматривать как часть полной
решетки (а именно такой, в которой
выполняются основные законы алгебры
множеств). Рассмотрим аналогичную
проблемы для булевых колец. Для этого
введем сначала общеепонятие
вложения
одной реляционной системы в другую.
О п р е д е л е
н и е 1. Реляционная система
называется подсистемой системы
,
если
и
(т.е.
).
О п р е д е л е
н и е 2. Система
называется расширением системы
,
если существует подсистема
системы
,
изоморфная
.
В последнем случае
говорят также, что система
погружается в систему
и функция, устанавливающая изоморфизм
систем
и
,
погружает
в
.
Теорема 1. Каждое
упорядоченное множество
можно
погрузить в семейство всех подмножеств
некоторого множества (упорядоченное
отношение включения) и, значит, в некоторое
полное атомарное булево кольцо.
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Обозначим
.
Из транзитивности отношения
следует, что
.
Т.к.
,
то
.
Таким образом,
,
откуда
.
Следовательно,
функция
погружает
в семейство множеств
,
упорядоченное отношением
.
Это семейство, очевидно, можно расширить
до семейства
,
где
.
Расширение,
описанное в теореме 1, не сохраняет,
вообще говоря, граней, т.е. из равенства
(или
)
не следует
(или
).
Займемся теперь
вопросом, можно ли расширить множество
до полной решетки с сохранением граней.
Пусть функция
погружает упорядоченную систему
в упорядоченную систему
.
О п р е д е л е
н и е 3. Погружение
сохраняет верхние грани, если для каждого
множества
и каждой функции
,
для которой существует
,
существует также
и
.
Аналогично для нижних граней.
Построим теперь расширение упорядоченного множества до полной решетки с сохранением граней.
Пусть
- множество, упорядоченное отношением
.
Для произвольного множества
положим
,
.
Из этих определений непосредственно следует, что
(1),
и
для любого
(2).
Действительно, по
определению
,
поэтому
.
Доказательство второго утверждения аналогично.
(3)
Включение
следует из (2). Пусть
.
Тогда
и тем более
,
поскольку
.
Таким образом,
.
Второе равенство доказывается аналогично.
Введем теперь для упорядоченных множеств понятие сечения.
Пара множеств
называется сечением упорядоченного
множества
,
если
и
.
Множество
называетсянижним
классом,
а
-верхним
классом сечения.
Из этого следует,
что
(4).
В самом деле, каждый
элемент множества
находится в отношении
к каждому элементу множества
.
Далее, в силу (3) каждая пара вида
и каждая пара вида
являются сечениями. Любое сечение можно
представить в любом из этих видов.
Наконец, по
определению сечения, пара
,
где
является сечением (6).
Введем отношение
порядка между сечениями:
.
Для проверки того, что отношение
здесь действительно - отношение порядка,
докажем, что
(7).
Пусть
и
.
Если
,
то
,
а поэтому
.
Отсюда
и, значит,
.
Аналогично доказывается обратная к (7)
импликация.
Обозначим через β - семейство всех сечений.
β - полная решетка (8).
Пусть
.
Обозначим :
,
.
Сечение
является наименьшей верхней гранью
множества £. Действительно,
,
следовательно,
для каждого
.
Если
для каждого
,
то
,
а поэтому
.
Отсюда
,
и тогда
.
Аналогично
доказывается, что сечение
является наибольшей нижней гранью
множества £.
(9) Функция
погружает
вβ
с
сохранением граней.
Доказательство.
Из определений следует, что
.
Возьмем
в множестве
.
Тогда
,
а поэтому
для
.
Пусть сечение
таково, что
для
.
Тогда
,
а т.к.
,
то
.
Значит,
для любого
,
откуда следует, что
.
Поэтому
,
откуда
и
.
Таким образом,
в множестве
β. Для
нижней грани доказательство аналогично.
Из (9) следует
Теорема 2. Каждое
упорядоченное множество
можно расширить с сохранением граней
до полной решетки β.
Построенную выше
решетку β
назовем минимальным
расширением
упорядоченного множества
.
Займемся более
подробно случаем, когда
- булево кольцо.
Сначала заметим,
что если
и
- произвольные подмножества упорядоченного
множества
,
то
(10)
Пусть теперь
-
решетка. Докажем, что если
и
- верхние классы двух сечений в
,
то
- множество всех элементов вида
,
где
для
.
Действительно,
и, значит,
для
.
Кроме того,
.
Аналогично
доказывается, что если
и
- нижние классы двух сечений в
,
то
- множество всех элементов вида
,
где
для
.
Из этих замечаний
и равенств (10) получаем, что если
-
решетка и
-
два ее сечения, то
,
(11).
Из определения
граней в решетке β
(смотреть доказательство утверждения
8) следует, что для любого упорядоченного
множества
и
любых двух его сечений :
(12),
(13).
Наконец, пусть
-
булево кольцо и
для произвольного множества
.
Если
- сечение в
,
то
- также сечение в
.
Доказательство (14) самостоятельно.
Теорема 3. Минимальное расширение булева кольца является булевым кольцом.
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Пусть β
- минимальное расширение булева кольца
.
Достаточно показать, чтоβ
- дистрибутивная решетка с
нулями 0
и единицами
и для каждого сечения
существует такое сечение
,
что
1)
,
2)
(15) (смотреть теорему из §10, главаI
)
Очевидно, что нулем
в β
является сечение
,
а единицей – сечение
.
Сечение
,
определенное в (14), удовлетворяет условиям
(15). Действительно, нижний класс сечения
есть
(смотреть (13)).
Единственный
элемент этого множества -
,
поскольку
.
Это доказывает первое из равенств (15), второе доказывается аналогично.
Осталось доказать закон дистрибутивности.
Т.к.
для каждой решетки, достаточно показать,
что если
и
- три сечения в
,
то
.
Используя (12) и
(13), сводим это неравенство к виду
или, согласно (11) и определению множеств
и
:
(16)
Предположим теперь,
что элементы
и
удовлетворяют посылке импликации (16).
Тогда
для любого
,
откуда
.
В силу произвольности
элемент
принадлежит
.
Аналогично
.
Т.к.
удовлетворяет посылке импликации (16),
то
и
.
Это доказывает импликацию (16), а вместе
с ней теорему 3.