§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.

Утверждения, доказанные в предыдущих параграфах этой главы, можно рассматривать как термины о решетке . Как мы знаем, эта решетка полна иявляется булевой алгеброй. Естественно возникает вопрос, можно ли обобщить термин №1 на произвольные решетки, полные решетки, булевы кольца.

Предположим сначала, что - произвольное упорядоченное множество и. Тогда справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1-3 §1.

Теорема 1. Наименьшая верхняя грань (наименьшая нижняя грань), если она существует, является единственным элементом множества, удовлетворяющим условиям:

(соответственно ).

Теорема 2. Если и для каждогосуществует наименьшая верхняя грань, и если существует наименьшая верхняя грань, то существует наименьшая верхняя грань. Аналогично для наибольших нижних граней.

Теорема 3. Если - перестановка множестваи существует наименьшая верхняя грань, то существует также наименьшая верхняя грань. Аналогично для наибольших нижних граней.

Для произвольного упорядоченного множества можно доказать утверждение, аналогичное (3), § 1.

Теорема 4. Если существуют грани и, тодля всех.

Формулы (4)-(11) § 1 не имеют аналогов в произвольных упорядоченных множествах.

Теорема 5. Если - решетка,и существуют наименьшие верхние грани,, то существует наименьшая верхняя граньи она равна. Аналогично для наибольших нижних граней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, для любого. Если, то. Поэтомуи аналогично, откуда.

Условие, что - решетка, мы использовали в самой формулировке теоремы. Для произвольного упорядоченного множества мы не смогли бы говорить ои.

Теорема 6. Если - решетка и существуют наименьшие верхние грании, то.

Аналогично для наибольших нижних граней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, идля любого.

Поэтому , откуда следует утверждение теоремы.

Неравенство в теореме 6 нельзя заменить равенством даже в случае полных решеток Брауэра.

Вместе с тем вернее

Теорема 7. Если - булево кольцо и существует наименьшая верхняя грань, то для произвольногосуществует наименьшая верхняя граньи она равна. Аналогично для наибольшей нижней грани.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. для каждого, то достаточно показать, что если, то. Из условия следует, что, поэтомудля произвольного. Отсюда, следовательно,.

Наконец, для булевых колец верна теория де Моргана.

Теорема 8. Если существует наименьшая верхняя грань , то существует граньи она равна. Аналогично для наибольшей нижней грани.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. , то, по закону контрапозиции,для каждого. Еслидля каждого, то, а поэтомуи, откуда.

Приведенный выше анализ показывает, что все основные теоремы §1 можно обобщить на случаи полных булевых колец. Для неполных колец эти теоремы верны при условии, что все верхние и нижние грани, встречающиеся в условиях теоремы, существуют. Интересно отметить, что, хотя в законе дистрибутивности не содержится знака дополнения (теорема 7), он выполняется только для булевых колец. Еще более интересно складываются обстоятельства для обобщенного закона дистрибутивности (теорема 4, § 1). Мы покажем, что булевы кольца вида являются в принципе единственными булевыми кольцами, для которых этот закон выполняется.

Сначала дадим два определения.

О п р е д е л е н и е 1. Булево кольцо называется дистрибутивным, если оно полно и для каждого множества, каждой функциии каждого разбиенияна сумму непустых множеств

(1)

где (2).

О п р е д е л е н и е 2. Элемент называется атомом булева кольца, если,и. Кольцоназывается атомарным, если для каждого элементасуществует по крайней мере один такой атом, что.

Теорема 9. Каждое полное и атомарное кольцо изоморфно телувсех подмножеств множестваего атомов, а именно существует такое взаимно однозначное отображениемножествана, что

(3),

(4)

для любого множества и любой функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим ,. Эта формула задает функцию, определенную на, значениями которой служат подмножества множества. Очевидно, что.

Функция взаимно однозначна. В самом деле, пусть и- элементы кольца.т.к. кольцо атомарно, то существует такой атом, что. Из неравенств

1) ,

2)

следует, что

1) или 2)

и 3) или 4).

Из равенств 1), 3) следует, что .

Т.е. , что противоречит определению 2.

Равенства 2), 4) дают:

, что противоречит определению 2.

Таким образом, или 1) и 4);

или 2) и 3).

В первом случае ( 1) и 4) ) и, во втором случае ( 2) и 3) )и.

Значит, или ,

или .

Но в обоих этих случаях .

Пусть . Если, то существует такое, что, откуда, а поэтому.

Итак, мы доказали, что прямое включение из (3) справедливо:

(5).

Пусть теперь , т.е. . Еслидля каждого, то, и, значит :, т.к.. Но это противоречит тому, что. Следовательно, существует такое, что, т.е., а поэтому.

Итак, обратное включение доказано. Оно вместе с (5) дает равенство (3).

Еще проще доказывается равенство (4) Осталось показать, что каждое множествоможно представить в видедля некоторого. Положим,,( эта- наименьшая верхняя грань существует, т.к. кольцополно).

Тогда в соответствии с (3) , поскольку- единственный атом, содержащийся в, а значит,.

Теорема 9 доказана полностью.

Теорема 10. Полное атомарное булево кольцо дистрибутивно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 9 , существует функция , изоморфно отображающаяна тело подмножеств некоторого множества. По теореме 4 § 1 из формулы (1) настоящего параграфа следует, откуда в силу (3) и (4). Т.к. функциявзаимно однозначна, то отсюда следует (1).

Теорема 11. Полное дистрибутивное булево кольцо атомарно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что - полное, дистрибутивное, но не атомарное кольцо, и пусть- тот его элемент, который не содержит ни единого атома. Пустьдляидля. Т.к., то, согласно предположению, верно равенство (1), где, аопределяется формулой (2) для. Из определения множестваследует, чтооткуда.

В силу (1) существует такое множество , что.

Положим (6).

Поскольку не содержит никакого атома,не будет атомом, т.е. существует такой элемент, что

и (7).

Согласно определению класса (2), т.е. или, или, откуда следует (согласно (6) ), что или, или. В первом случае получаем ( учитывая, что), во втором случае. Таким образом, или, иливопреки (7).

Полученное противоречие доказывает теорему.

Пример. Булево кольцо плоских регулярно замкнутых множеств полно, но не дистрибутивно. Действительно, В главеI мы показали, что является булевым кольцом с операциями_⊙, ’ и что в каждом отличном от нуля элементе этого кольца содержится непустой и отличный от него элемент. Таким образом, кольцо не атомарно. Из примеров 3, 4 (§ 1, главаIV) следует, что кольцо полно, а тогда в силу теоремы 11 оно и дистрибутивно.

Этот пример интересен тем, что он показывает, что все законы алгебры множеств переносятся на булевы кольца даже в случае полных колец.