§ 9. Обратные системы и их пределы.

Пусть даны:

1. произвольное множество ,

2. упорядоченно (или квазиупорядоченное) отношение множество,

3. функция , такая, чтодля каждого,

4. функция , которую можно записать в видеили, где(1)

Пусть функция удовлетворяет условиям(2),

для каждого является равенством (3)

Система называетсяобратной системой. Обратным пределом этой системы, обозначенным или, называетсяподмножество произведения , состоящее из таких элементов, что

(4).

Пусть обозначает-ю координатную функцию, т.е. функцию, определенную равенством

(5)

тогда

(6)

Если даны две обратные системы : ии функция, т.е., и диаграмма

Коммутативна, т.е. , если, то можно так определить отображение, чтобы диаграмма

Была коммутативна для каждого .

Для этого достаточно для каждого задатьусловием.

Легко доказать, что если - взаимно однозначное отображение множестванадля каждого, то- взаимно однозначное отображение множествана.

Пример 1. Пусть множество упорядочено отношением равенства. Тогда.

Пример 2. Пусть множество направлено ( главаII, §5. Определение 2. Множество , упорядоченное (или квазиупорядоченное) отношением, называется направленным, если, для каждой пары, существует такое, чтои.),для каждогои- тождественное отображение. Тогдаявляется множеством всех констант.

Для доказательства заметим, что если , то существует такое, чтои.

Отсюда , и тогда, согласно (4),. Аналогично, поэтому.

Пример 3. Множество всех отображенийможно с помощью операции суженияпредставить как обратный предел множества, где. Для этого надо в качестве направленного множествавзять множество, упорядоченное отношением включения, функциюзадать равенствомдляи каждой парепоставить в соответствие функцию, определенную равенством, где.

Здесь роль множества в обратной системе играет множествовсех сужений, т.е..

Поставим в соответствие каждому элементу элемент, определенный условием.

Легко проверить, что , т.е..

При этом отображаетна все множество. Действительно, пусть, тогдадля каждого. Определимусловием. Легко видеть, что, т.е.для.

Наконец, отображение взаимно однозначно. Действительно, если , то существует такое,, т.е.. Следовательно,, так что.

Следует отметить, что все эти рассуждения остаются в силе, если и- метрические пространства. Тогдабудет семейством компактных подмножеств пространства, а- семейством непрерывных отображений.