§8. Приведенные Декартовы произведения.

Комбинируя операцию образования декартова произведения с операцией образования классов абстракций, получаем новую операцию, которая нашла применение в матлогике.

Пусть - произвольное множество и- функция, определенная наи принимающая в качестве значений непустые множества. Предположим также, что на произведенииопределена функциясо значениями ви что- бинарное отношение над полем, содержащемся в. Все дальнейшее рассмотрение без труда переносится на случай, когда число функций или отношений больше единицы.

Пусть - идеал в. Определим отношениевформулой

Tеорема 1. Отношение является отношением эквивалентности в.

1) Рефлексивность отношения следует из того, что, 2) симметричность очевидна,a 3) транзитивность следует из того, что произвольных

.

Теорема 2. Декартово произведение функциисогласовано с отношением.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимо показать, что если , то.

Пусть . Из определенияследует, что .

Поэтому , откуда.

Из теорем 1, 2 и следствий, приведенных в § 5 главе III, вытекает, что существует множество классов абстракций отношенияви что в этом множестве определена операция, индуцированная изс помощью отношения. Определим отношениевформулой, где,- классы абстракций , содержащие соответственнои.

Множество называетсядекартовым произведением множеств , приведенным по модулю(короче, приведенным mod ). Аналогично функция(отношение) называется декартовым произведением функция(отношение), приведеннымmod .

Пусть - произвольная высказывательная функция. Главную проблему в теории приведенных произведений можно сформулировать так:

Зная множества , определить, когда множество, функцияи отношениеудовлетворяют высказывательной функции.

Для решения этой проблемы рассмотрим более общую высказывательную функцию произвольного числа переменных. Пустьи. (Очевидно, что множествозависит не только от, но и от выбранных элементов, но мы это не отмечаем в индексе приради простоты обозначения).

Докажем, что справедливы утверждения (I) – (IV).

I. .

Действительно, и поэтому ((II), §5, глава I) , откуда по закону де Моргана получим (I).

II. Если - высказывательная функция вида (), то.

В самом деле, пусть .

Для существует элемент, удовлетворяющий.

Обозначим множество этих элементов черези положимдля. Пусть- функция выбора для семейства, состоящего из всех множеств.

Тогда и для всех

(1) ,

откуда . Следовательно,.

Обратно, если , то (1) выполняется для всех. Тогда для этих, откуда. Поэтомуи.

Идеал называется простым, если для произвольного либо, либо.

Пример простого идеала дает семейство . В главеVII (пользуясь аксиомой выбора) мы докажем, что любой идеал можно расширить до простого.

(III). Если идеал простой и- отрицание, то.

Действительно, .

(IV). Если идеал простой, тоесли, кроме того,обозначит, то. Это утверждение следует из первых трех.

Доказанные утверждения дают следующее решение поставленной выше проблемы.

Назовем высказывательную функцию элементарной, если она получается из высказывательных функций :

a)

b)

c)

С помощью операций исчисления высказываний и кванторов .

°Теорема 3. Если - простой идеал,- элементарная высказывательная функция,- произвольные элементы из, то (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если - одна из функций видаa), b), c), то (2) в этом случае верно. Действительно,

в случае a) левая часть (2) эквивалентна ,

в случае b) левая часть (2) эквивалентна ,

в случае c) левая часть (2) эквивалентна .

Правая часть (2) эквивалентна

в случае a)

в случае b)

в случае c)

из определения множеств , функции, отношенияи простого идеала следует, что левая и правая части в (2) эквивалентны.

В силу утверждений (I)-(IV), если формула (2) справедлива для высказывательных функций и, то она справедлива для высказывательных функций, получающихся изис помощью операций исчисления высказываний и кванторов. Таким образом, теорема 3 доказана.

°Следствие 4. Если высказывательная функция - элементарная, то. Это следует из теоремы 3 , если высказывательная функция не содержит переменных.

°Следствие 5. Если - элементарная высказывательная функция, идля каждого, то.

Это легко получается из предыдущего следствия с учетом того, что если - просто идеал, то.

Рассмотрит примеры, считая простым идеалом в.

Пример 1. Если отношения рефлексивны и транзитивны и удовлетворяют условиям

, , то отношениеудовлетворяют этим же условиям.

Пример 2. Если - тело с операцией сложенияи операцией умножения, то множества- тело с операциямии, гдеи- декартовы произведенияисоответственно.

Аналогично, если каждое из множеств - упорядоченное тело с операциямиии отношениями порядка, то- упорядоченное тело с операциямиии отношениями порядка.

Эти утверждения получаются из следствия 5, если высказывательные функции «- тело с операциямии» и «- упорядоченное тело с операциямиии отношениями порядка» записать в виде элементарных высказывательных функцийисоответственно.

Эти примеры показывают, что операция образования приведенного декартова позволяет получить из данного семейства моделей для произвольной системы аксиом (которые можно выразить с помощью элементарных высказывательных функций) новые модели для этой же системы. Другие применения приведенных декартовых произведений будут даны в главе IX.