§ 7. Теорема Тихонова.

Семейство R подмножеств множества называетсяцентрированным, если пересечение любого конечного числа множеств из R не пусто, т.е. существует «центр».(НК)

Топологическое пространство называетсякомпактным, если каждое центрированное семейство его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение. Это значит, что топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство открытых множеств, в сумме составляющих, содержит конечное подмножество, сумма множеств которого также равна.

Приведенная ниже теорема относится, собственно говоря, не к общей теории множеств, а к топологии.

Мы ее поместили здесь потому, что она имеет многочисленные приложения(между прочим, и в самой теории множеств), методы, применяемые в ее доказательстве, фактически не выводят нас из теории множеств.

°Теорема 1 (Тихонов). Если для каждого пространствокомпактно, то пространствотакже компактно (в топологии Тихонова).

При доказательстве этой теоремы мы будем пользоваться леммой, которую докажем только в главе 7, § 8.

°Лемма. Если R₀ - центрированное семейство подмножеств пространства , то существует максимальное центрированное семействоR, содержащее R₀, т.е. такое, что каждое семейство подмножеств пространства , отличное отR и содержащее R₀, содержит конечное подсемейство, имеющее пустое пересечение.

Воспользуемся следующими двумя свойствами центрированных максимальных семейств.

I. Если R и R, то R.

В самом деле, в противном случае семейство, полученное из R прибавлением к нему , не было бы центрированным, и, значит, содержало бы конечное подсемейство с пустым пересечением. Очевидно, что множестводолжно принадлежать этому подсемейству, а отсюда следует, что существует такое конечное подсемействоR'R, что , что противоречит центрированности семейства R.

II. Если идля каждогоR, то R. В самом деле, в противном случае семейство Rне было бы центрированным и, значит, существовало бы такое конечное подсемейство R'R, что . В силу свойстваI произведение принадлежит R, вопреки тому, что для каждогоR.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы Тихонова. Пусть R₀ теперь - центрированное семейство замкнутых подмножеств пространства . Обозначим черезR некоторое центрированное максимальное семейство подмножеств пространства , содержащее R₀. Для доказательства теоремы достаточно показать, что .

Для произвольного множества обозначим черезего проекцию наи положимR^tR}. Семейство R^t состоит из замкнутых подмножеств пространства . Если множества,, принадлежит R^t, при чем R, то , т.к. семействоR центрировано. Отсюда следует, что и тем более.

Значит, семейство R^t центрировано. Т.к. все контактны, то. Использую общий принцип выбора, получаем отсюда, что существует такая функция, чтодля каждого. Докажем, что.

Для этого возьмем множество изR и окрестность , содержащую. Надо показать, что.

Пусть определяется конечным множествоми открытыми множествами.

Очевидно, что для. Полагая, получим.

Если - произвольное множество из R, то , следовательно,. Поэтому существует такой элемент, чтодля некоторой функциии, значит,. Таким образом,для любого. Отсюда, согласно (II) получаем R, а согласно (I), R, т.е. R, откуда Таким образом, любая окрестность, содержащая, имеет общие элементы с, значит,.

Пример 1. Множества ,,компактны.

Пример 2. Пусть - высказывательная функция, полученная из высказывательных функций

(*)

с помощью одних только операций исчисления высказываний. Также высказывательные функции назовем открытыми.

Пусть дляи произвольной открытой высказывательной функции.

Множество одновременно открыто и замкнуто в. Действительно, для высказывательных функций (*) это следует из теоремы 2 (§ 6), а для других высказывательных функций – из связи между логическими теоретико-множественными операциями и просто замечания, что сумма, произведение и дополнение открыто-замкнутых множеств тоже открыты и замкнуты.

Пусть теперь - открытая высказывательная функция с переменными, и пусть- элементы множества. Из компактности множестваследует

Теорема 2. Если для каждого произведениене пусто, то и бесконечное произведениенепусто.

В этой теореме утверждается, что из существования отношений , удовлетворяющих условиямдля, следует существование одного “универсального” отношения, удовлетворяющего всем этим условиям.