
- •Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества.
- •§1. Натуральные числа.
- •§2. Определения по индукции.
- •§3. Отображение множества nn на n и связанные с ним отображения.
- •§4. Конечные и бесконечные множества.
- •§5. Теорема д. Кёнига.
- •§6. Графы. Теорема Рамсея.
- •Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения.
- •§1. Бесконечные суммы и произведения.
- •§2. Операции на бесконечных последовательностях множеств.
- •§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.
- •§5. Обобщённые декартовы произведения.
- •§6. Декартовы произведения топологических пространств.
- •§ 7. Теорема Тихонова.
- •§8. Приведенные Декартовы произведения.
- •§ 9. Обратные системы и их пределы.
- •§ 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.
- •§ 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
- •§12. Теория представления дистрибутивных решеток.
- •II. Множества одновременно открыты и замкнуты в.
- •III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств.
- •Глава V. Теория кардинальных чисел.
- •§1. Равномощность множеств. Кардинальные числа.
- •§ 2. Счетные множества.
- •§ 3. Шкала кардинальных чисел.
- •§ 4. Арифметика кардинальных чисел.
- •§ 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора-Бернштейна и ее обознчения.
- •§ 6. Свойства чисел ℵ0 и c.
- •§ 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел.
- •§ 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел.
- •Глава VI. Линейно упорядоченные множества.
- •§ 1. Введение.
- •§ 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества.
- •§3. Типы ω (омега
- •Λ (лямбда
- •§ 4. Арифметика порядковых типов.
- •§ 5. Лексикографический порядок.
- •Литература
§ 7. Теорема Тихонова.
Семейство R
подмножеств множества
называетсяцентрированным,
если пересечение любого конечного числа
множеств из R
не пусто, т.е. существует «центр».(НК)
Топологическое
пространство
называетсякомпактным,
если каждое центрированное семейство
его замкнутых подмножеств имеет непустое
пересечение. Это значит, что топологическое
пространство
компактно тогда и только тогда, когда
каждое семейство открытых множеств, в
сумме составляющих
,
содержит конечное подмножество, сумма
множеств которого также равна
.
Приведенная ниже теорема относится, собственно говоря, не к общей теории множеств, а к топологии.
Мы ее поместили здесь потому, что она имеет многочисленные приложения(между прочим, и в самой теории множеств), методы, применяемые в ее доказательстве, фактически не выводят нас из теории множеств.
°Теорема
1
(Тихонов).
Если для каждого
пространство
компактно,
то пространство
также компактно (в топологии Тихонова).
При доказательстве этой теоремы мы будем пользоваться леммой, которую докажем только в главе 7, § 8.
°Лемма.
Если R0
-
центрированное
семейство подмножеств пространства
,
то существует максимальное центрированное
семействоR
,
содержащее
R0,
т.е. такое, что каждое семейство подмножеств
пространства
,
отличное отR
и содержащее
R0,
содержит конечное подсемейство, имеющее
пустое пересечение.
Воспользуемся следующими двумя свойствами центрированных максимальных семейств.
I.
Если
R
и
R,
то
R.
В самом деле, в
противном случае семейство, полученное
из R
прибавлением к нему
,
не было бы центрированным, и, значит,
содержало бы конечное подсемейство с
пустым пересечением. Очевидно, что
множество
должно принадлежать этому подсемейству,
а отсюда следует, что существует такое
конечное подсемействоR'
R,
что
,
что противоречит центрированности
семейства
R.
II.
Если
и
для
каждого
R,
то
R.
В самом деле, в противном случае семейство
R
не было бы центрированным и, значит,
существовало бы такое конечное
подсемейство
R'
R,
что
.
В силу свойстваI
произведение
принадлежит
R,
вопреки тому, что
для каждого
R.
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о
теоремы Тихонова.
Пусть
R0
теперь - центрированное семейство
замкнутых подмножеств пространства
.
Обозначим черезR
некоторое
центрированное максимальное семейство
подмножеств пространства
,
содержащее
R0.
Для доказательства теоремы достаточно
показать, что
.
Для произвольного
множества
обозначим
через
его проекцию на
и положимRt
R}.
Семейство Rt
состоит из замкнутых подмножеств
пространства
.
Если множества
,
,
принадлежит
Rt,
при чем
R, то
,
т.к. семействоR
центрировано. Отсюда следует, что
и тем более
.
Значит, семейство
Rt
центрировано. Т.к. все
контактны, то
.
Использую общий принцип выбора, получаем
отсюда, что существует такая функция
,
что
для каждого
.
Докажем, что
.
Для этого возьмем
множество
изR
и окрестность
,
содержащую
.
Надо показать, что
.
Пусть
определяется
конечным множеством
и открытыми множествами
.
Очевидно, что
для
.
Полагая
,
получим
.
Если
-
произвольное множество из
R, то
,
следовательно,
.
Поэтому существует такой элемент
,
что
для некоторой функции
и, значит,
.
Таким образом,
для любого
.
Отсюда, согласно (II)
получаем
R,
а согласно (I),
R,
т.е.
R,
откуда
Таким образом, любая окрестность,
содержащая
,
имеет общие элементы с
,
значит,
.
Пример 1.
Множества
,
,
компактны.
Пример 2.
Пусть
-
высказывательная функция, полученная
из высказывательных функций
(*)
с помощью одних только операций исчисления высказываний. Также высказывательные функции назовем открытыми.
Пусть
для
и произвольной открытой высказывательной
функции
.
Множество
одновременно открыто и замкнуто в
.
Действительно, для высказывательных
функций (*) это следует из теоремы 2 (§
6), а для других высказывательных функций
– из связи между логическими
теоретико-множественными операциями
и просто замечания, что сумма, произведение
и дополнение открыто-замкнутых множеств
тоже открыты и замкнуты.
Пусть теперь
-
открытая высказывательная функция с
переменными
,
и пусть
-
элементы множества
.
Из компактности множества
следует
Теорема 2. Если
для каждого
произведение
не пусто, то и бесконечное произведение
непусто.
В этой теореме
утверждается, что из существования
отношений
,
удовлетворяющих условиям
для
,
следует существование одного
“универсального” отношения,
удовлетворяющего всем этим условиям.