§6. Декартовы произведения топологических пространств.

Пусть для каждого t T является топологическим пространством. Обозначим через замыкание в пространстве множества . Таким образом, – такая функция, чтодля каждогоt.

Очевидно, что существует много способов определения замыкания в пространстве , т.к. каждое множество можно превратить в топологическое пространство разными способами.

Опишем здесь некоторую специальную топологию пространства , введенную Тихоновым.

Пусть - конечное подмножество множестваT, а - открытое множество в пространстведля каждого. Назовем окрестностью, определяемой множествомпокрытыми множествами, подмножестводекартова произведения.

Докажем, что произведение двух окрестностей либо пусто, либо тоже окрестность. В самом деле, если окрестность Г определена конечными множествами S и открытыми множествами , а окрестностьопределена конечными множествамии открытыми множествами, то

Таким образом, множество , либо пусто, либо являетсяокрестностью, определяемым конечным множеством и открытыми множествами.

Определим замыкание множества как множество CX таких , что каждая окружность , содержащая , содержит по крайней мере один элемент множества :

(*)

Теорема 1. Декартово произведение представляет собой топологическое пространство относительно операции замыканиядля.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы проверим, выполняются ли аксиомы (1)-(4) (гл. I , § 8). Аксиомы (3), (4) очевидны :

Аксиома (3) : ; аксиома (4):.

Аксиома 1. Пусть . Тогда каждая окрестность, содержащая , содержит хотя бы один элемент из . Значит, , а отсюда следует, что, и тогда. Аналогично, следовательно, .

Пусть теперь ,. Тогдадля каждой окрестностиГ, содержащей f , и для некоторой окрестности, содержащейf . Если Г – правильная окрестность, содержащая f , то - также окрестность, содержащаяf , и поэтому , откудаи тем более. Это значит, что.

Аксиома 2. (). Достаточно показать, что. Пустьи Г – производная окрестность, содержащаяf. Следовательно, . Возьмем. Тогда Г – окрестность, содержащаяg , и т.к. , то. Это значит, что выполняется условие (*) , и поэтому.

Приведем примеры декартовых произведений топологических пространств.

Пример 1. Множество Кантора. Так называется множество , т.е. декартова степень двухэлементного множества.

Если в множестве определить топологию, положивдля каждого(дискретная топология), тостанет топологическом пространством с топологией Тихонова.

Ставя в соответствие элементу вещественное число, получаем взаимно однозначное соответствиемножестваи множества вещественных чисел замкнутого интервала, имеющих в топологическом разложении только цифры 0 и 2.

Пример 2. Обобщенное множество Кантора . Это декартова степень . Топология Тихонова в этом множестве определяется так же, как для множества.

Обобщенное множество Кантора можно также определить как множество характеристических функций подмножеств множества . В действительности можно отождествить множестваи. Поэтому в дальнейшем не будем трактовать множествокак топологическое пространство. Аналогично можно отождествить элементы множествас отношениями над полями, содержащимися в, поскольку каждый элемент множестваявляется характеристической функцией множества упорядоченных пар элементов из.

Tеорема 2. Семейство замкнуто и открыто в . Семействозамкнуто и открыто в.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через окрестность в, определенную множествоми открытым множеством. Тогдаи, значит,состоит из характеристических функций множеств, принадлежащих семейству. Таким образом,- открытое множество. Аналогично окрестность, определенная множествоми открытым множеством, состоит из характеристических функций множеств, составляющих семейство. Эта доказывает, что семействозамкнуто в.

Вторая часть теоремы следует из первой.

Пример 3. Пространство Бэра. Так называется декартова степень , т.е. множество бесконечных последовательностей натуральных чисел. Топология в- топология Тихонова, при чем операция замыкания вопределяется равенством.

Если - последовательность изчленов, то множествоодновременно замкнуто и открыто в.

Это множество последовательностей , удовлетворяющих условиямдля, т.е. оно совпадает окрестностьюв, определенной множествоми открытыми множествамидля.

Дополнение этой окрестности открыто , т.к. оно совпадает с суммой окрестностей, определенных множествамии открытыми множествами,.

Ставя в соответствие элементу число,

Получим взаимно однозначные отображения пространства на множество иррациональных чисел открытого интервала (0,1).

Таким образом, можно отождествить пространство Бэра с множеством иррациональных чисел, удовлетворяющих условию .

Пример 4. Декартово произведение конечного числа пространств. Конструкция, описанная в этом параграфе, в одинаковой степени применима как к случаю, когда множество в формулеконечно, так и к случаю, когда это множество бесконечно.

Если - конечное множество, например, то декартово произведение, где для каждогомножествооткрыто в, образует открытую базу в.

Если , где- множество вещественных чисел, то пространствоназываетсяn-мерным евклидовым пространством. Это пространство мы будем применять в дальнейшем только в некоторых примерах, т.к. в отличие от других рассмотренных выше пространств оно было определено не только с помощью понятий теории множеств.

В дальнейших главах мы будем пользоваться следующей теоремой.

Теорема 3. Если - декартово произведение топологических пространств (с топологией Тихонова),,для каждогозамкнуто в, тотакже замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и. Тогдадля некоторого. Окрестностьточки, определенная одноэлементным множествоми открытым множеством, содержити не пересекается с, что и т.д.