§5. Обобщённые декартовы произведения.

Пусть (как в §1) – функция, значениями которой являются подмножества множества, а областью определения – множество.

О п р е д е л е н и е. Декартовым произведением называется множество таких функцийс областью определения, чтодля каждого:

, где .

Если , то вместопишут. Элементами этого декартова произведения будут такие последовательности, чтодля.

Если все сомножители равны,, то . Здесь- множество функций с областью определенияи множеством значений. Множествоназывается декартовой степенью множества.

Для обозначим черезпроекцию множествана, т.е.. Очевидно, чтодля каждого.

Замечание. Пусть . Декартовы произведенияине совпадают. Первое имеет в качестве элементов последовательности длины 2, второе – упорядоченные пары, а это различные понятия. Однако в действительности различие между этими двумя произведениями не существенно, потому что каждой упорядоченной пареможно поставить во взаимно однозначное соответствие последовательность. Еслидля некоторого, то.

В самом деле, если , то, т.е..

Теорема 1. Если - конечное множество идля каждого, то.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу элементов множества . Еслиимеет один элемент, то теорема очевидна. Предположим, что теорема взята в случае, когдаимеетэлементов. Пусть, где.

Пусть для. Докажем, что. Возьмёми. Тогда множествобудет функцией, принадлежащей, следовательно, множествонепусто.

Теорема 1 распространяется также на случай произвольного , если все сомножителисовпадают.

Теорема 2. Если , то.

В общем случае доказательство того, что декартово произведение непустых множеств непусто, требует аксиомы выбора.

ºTеорема 3. Если для, то.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Элементами множества будет функция выбора для семейства.

Пользуясь декартовыми произведениями (например в алгебре, топологии и т.п.), мы обычно сталкиваемся со случаями, когда на множествах определены некоторые операции или отношения или когда множестваявляются топологическими пространствами. Рассмотрим сначала случай, когда на каждом множествеопределена только одна операция – для удобства будет считать её бинарной.

Другими словами, кроме функции , заданатакая функциядвух переменных, чтодля каждого.

Функция определяет бинарную операциюна элементах декартова произведения:

, где .

Таким образом, - такой элементдекартова произведения, чтодля всех. Операцияназывается декартовым произведением операций.

Аналогично определяется декартово произведение отношений. Пусть - такая функция, что(для каждого) есть отношение над полем, содержащимся в.

Декартовым произведением отношения называется такое отношение над полем, содержащемся в, что.

Здесь надо заметить, что - двуместное отношение, т.е. множество упорядоченных пар, в то время как- множество функций. Однако можно естественным образом поставить в соответствие декартову произведениюотношение между функциями, которое выполняется тогда и только тогда, когда функция, определенная равенством(т.е. функция), принадлежит. Это отношение совпадает с отношением.

Очевидно, что все эти определения без труда переносятся на случай, когда на каждом множестве задача не одна, а произвольное число операций (или отношений).

Пример. Предположим, что - булево кольцо относительно операцийи элементов. Обозначим черездекартовы произведения операций, а черезитакие функции, чтоидля всех.

Теорема 4. Декартово произведение является булевым кольцом относительно операцийи элементови.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно проверить справедливость аксиомы булевой алгебры (I – V', §9, гл. I). Проверим, например, справедливость (IV). Пусть . По определению- это такая функция, чтодля каждого. Т.к. дляаксиома(IV) верна, то и, значит,.

Булево кольцо называется декартовым (или прямым) произведением булевых колец .

Аналогично определяется прямое произведение группы колец и других алгебраических систем.