Глава III. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества.

В этой главе мы исходим из системы аксиом ∑º, причём, как обычно теоремы, не помеченные символом º, можно доказать без аксиомы выбора VI.

§1. Натуральные числа.

Для каждого множества X обозначим

Множество X' называется последователем множества X.

Теорема 1. Существует единое семейство K множеств N, обладающие следующими свойствами:

1. 

2. 

3. Если K удовлетворяет I и II, то

Множество K будем называть индуктивным, если для него выполняются равенства (I) и (II).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из аксиомы бесконечности (IV) следует, что существует по крайней мере одно семейство R, обладающее свойствами (I) и (II). Пусть Ф – семейство всех тех подмножеств семейства R, которые обладают свойствами (I) и (II):

Легко проверить, что P(Ф) является искомым семейством K. Элементами множества N будут множества 0, {0}, {0, {0}}, … Можно считать, что эти множества играют роль натуральных чисел 0, 1, 2, 3,.. , а роль операции +1 играет операция '.

Мы докажем теоремы, из которых будет следовать, что для элементов множества N выполняются известные законы арифметики.

Для упрощения символики будем в дальнейшем обозначать элементы семейства N буквами m, n, p, …

Прежде всего докажем, что

(1)

Пусть Достаточно показать, чтот.е. что множествоK индуктивно. Условие (I) выполняется очевидно.

Чтобы доказать (II), возьмём и. Тогда или В 1-ом случаепо определению множестваK, а во 2-ом случае в силу равенства этих множеств. Следовательно,, значит,и формула (1) доказана.

Доказательства такого вида называют доказательствами по индукции.

Далее (2).

Доказательство (2) проводится по индукции; оно основано на том, что множество индуктивно

(3)

В самом деле, и значит,или, откуда согласно (1),Аналогично доказывается обратное включение.

Пеано показал, что арифметику натуральных чисел можно построить, исходя из следующих аксиом:

1. нуль является натуральным числом;

2. каждое натуральное число имеет последовательность;

3. нуль не является последователем никакого натурального числа;

4. числа, имеющие одинаковые последователи, равны;

5. множество, содержащее нуль и вместе с каждым число его последователь, содержит все натуральные числа.

Из формул (I), (II), (3), (III) и следует, что элементы множестваN удовлетворяют всем аксиомам Пеано.

Для произвольных m, n выполняется одна и только одна из (4)

зависимостей .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (1) и (2) следует, что любые две из этих зависимостей исключают друг друга. Чтобы доказать, что для каждой пары m, n одна из этих зависимостей выполняется, применим индукцию. Обозначим

Утверждение (4) равносильно утверждению , поэтому достаточно показать, что множествоK(n) для любого n индуктивно.

Множество K(0) индуктивно, т.к. K(0) состоит из множества 0 и тех m, для которых и.

Пусть K(n) индуктивно, т.е. . Покажем, чтоK(n') также индуктивно. Из следует, что.

Т.к. первые два члена этой дизъюнкции ложны, то , следовательно,Условие (I) индуктивности множества выполнено.

Проверим условие (II). Пусть т.е. выполняется один из случаев

Во 2-м и 3-м случае очевидно, что и, значит,

В 1-м случае:

• или тогдаи, значит,

• или тогда и

поскольку по предположению множество индуктивно.

Отсюда получаем 3-й член этой дизъюнкции можно отбросить, т.к. он вместе сдаётчто противоречит (2). Таким образом, остаются только возможностии

Учитывая, что получаем в обоих случаяхи утверждение (4) доказано.

Множество совпадает с произведениемвсех семействудовлетворяющих условию (II) и содержащих . (5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество удовлетворяет условию (II), т.к. Из этого следует, чтопосколькуОстаётся показать, что еслиK удовлетворяет условию (II) и то

Рассмотрим для этого множество Достаточно показать, чтот.е. чтоZ индуктивно. Условие (I) с очевидностью выполняется, т.к.

Чтобы доказать, что Z удовлетворяет условию (II), возьмем элемент

Т

или

огда:

1)

2)

В 1-м случае посколькуудовлетворяет условию (II) и, значит, 2-й случай, согласно (4), распадается на 3 подслучая в соответствии с зависимостями и1-й подслучай противоречит условию2-й подслучай даёти, значит,откудат.к.Наконец, в последнем случае, согласно (4),Если верны 1-й и 2-й члены этой дизъюнкции, то опять же по (4)поэтомуиПоследний член дизъюнкции ведет к противоречию, т.к. из него следует, чтов то время как по условию

В арифметике множество чисел, больших данного числа n, определяется как общая часть всех множеств, содержащих последовательность числа n и вместе с каждым числом b содержащих его последовательность.

Утверждение (5) показывает, что отношение принадлежности в множестве соответствует отношению «меньше» между натуральными числами. Поэтому вместоимы будем часто писать и соответственно.

Введение множества даёт возможность определить в теории множеств понятия, аналогичные понятиям арифметики и анализа. Например, функцияопределенная на множественазываетсябесконечной последовательностью и иногда обозначается

Функцию, определенную на множестве называютконечной последовательностью с членами.

Очевидно, что множеством всех бесконечных последовательностей, члены которых принадлежат множеству A, будет A^N; множеством всех конечных последовательностей с членами будетA^N. Множество всех конечных последовательностей с членами из A можно определить так:

×(R – функция)

Из этого определения следует, что такое множество существует.