1.1 Основные понятия

Множество – состоит из элементов. Принадлежность элемента a множеству M обозначается aM (“a принадлежит M”), непринадлеж-ность – aM или aM. Множество A называется подмножеством множества B (обозначается AB):

1. (AB)  (а) (аA  аB);

2. (AB)  (A B)  А ≠B;

Отношение равенства множеств A и B:

(A=B)  (AB)  (BA).

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным (например, множества N, R – бесконечные множества). Число элементов в конечном множестве M называется его мощностью или кардинальным числом M – card M.

Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов, называется пустым (обозначается ): ||=0.

Способы задания множеств:

1. Перечислением, т.е. списком своих элементов.

Например. A={a, B} или A={a, b, c, d}.

2. Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки M₂n , nN, где N – множество натуральных чисел, может быть представлено порождающей процедурой, заданной двумя правилами, называемыми рекурсивными (индуктивными):

а) 1M₂n ; б) если mM₂n , то 2mM₂n .

3. Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы; обозначается:

M={x| P(x)} или M={x: P(x)}.

Пример 1. Задать различными способами множество N всех нату-ральных чисел: 1, 2, 3, …

1. Списком множество N задать нельзя ввиду его бесконечности.

2. Порождающая процедура содержит два правила:

а) 1N; б) если nN, то n+1N;

3. Описание характеристического свойства элементов множества N: N={x: x – целое положительное число}.

Пример 2. Задать различными способами множество M всех четных чисел 2, 4, 6, …, не превышающих 100.

M_2n={2, 4, 6, …, 100}.

а) 2M_2n; б) если nN, то (n+2)M_2n; в) n98.

M_2n={n: n – целое четное положительное число, не превышающее 100} или M_2n={n: nN и n/2N, n100).

Пример 3. Пусть U={a, b, c}. Определить в явном виде (перечислением своих элементов) булеан (U) – множество всех подмножеств, состоящих из элементов множества U. Какова мощность множества (U)?

(U)={, {a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}.

Мощность |(U)|=8.

Пример 4. Какие из приведенных определений множеств A, B, C, D являются корректными:

a) A={1, 2, 3}, в) C={x: xA},

б) B={5, 6, 6, 7}, г) D={A, C}?

Принадлежит ли число 1 множеству D?

а) Определение множества A={1, 2, 3} – корректно.

б) Корректное определение B={5, 6, 7}, так как не следует указывать один и тот же элемент несколько раз.

в) Определение множества C={x: xA} – корректно.

г) Определение списком множества D={A, C} – корректно. Однако, 1D, так как элемент 1 не перечислен в списке.

Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Пусть X – множество {1, 2}, а Y – множество {x: x=y+z; y,zX}. Определить в явном виде (списком) множество Y. Каковы множества Y={y: y=x+z; x,zX} и Y ={x: x=y+z; y,zY}?

2. Задать различными способами множество M₂n всех чисел, явля-ющихся степенями двойки: 2, 4, 8, 16, …, не превышающих 300?

3. Задать различными способами множество натуральных чисел, кратных пяти: 5, 10, 15, 20 …

4. Задать в явном виде (списком) множество (U) всех подмножеств множества U, если U={1, 2, 5, 7}. Какова мощность множества (U)?