Алгоритм построения сднф.
1. Выбрать в таблице
задания функции все наборы (
)
аргументов, на которых
.
2. Выписать
конституенты единицы 
,
соответствующие этим наборам аргументов;
при этом, если аргумент
входит
в данный набор как 1, он вписывается без
изменений
в конъюнкт
;
если же
входит в данный набор как 0, то в
соответствующий конъюнкт вписывается
его отрицание (
).
3. Все полученные конституенты единицы соединяются знаками дизъюнкции.
Пример 1-9.
Найти СДНФ и СКНФ функции
,
заданной следующей таблицей истинности:
|
|
|
|
|
Конституенты:
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
(
)
– наборы аргументов
.
14 27
2.2 Задачи и упражнения iiго – типа *.
1. Проверить полноту заданной системы функций. Для функционально полной системы выделить базис.
1) F={
,
},
где
=x
y,
=x
¬yz,
2) F={
,
,
,
},
где
=x¬y,
=x~yz,
=0,
=1,
3) F={
,
,
,
},
где
=(x
y)
(y~z),
=(x/(xy))
z,
=x
y,
=0,
4) F={
,
,
},
где
=(0110
1001),
=(1000
1101),
=(0001
1100)
5) F={
,
,
},
где
=(0100
0100),
=(1111
1100),
=(1000
0000)
2. Составить все возможные базисы из функций двух переменных.
3. Для заданной
функции
:
1) построить таблицу истинности;
2) построить изображение на кубе;
З) найти СДНФ и СКНФ;
4. Определить принадлежность классам Поста.
5. Построить
функционально полную систему функции
так, чтобы эта система была базисом и
содержала
.
=x
p/z
¬y
x
p
z
x
y
z,
=p
y
y
x
z
p/y
¬z
x,
==p/z
x
y
z
y
p
¬x
y
z,
=y
z
p
x
z
p
y/¬y
z,
=z
y
p
x
¬z
p/z
y
x,
=x
y
p
x
z
x/y
¬z
x
z,
=z
y
x
z
p
x
z/y
¬p,
=y
z
p
x
z
p
y/¬p
z,
=p
x
z
¬y
p
z
y/z
x,
=x/y
z
p
x
y
¬z
p
y
z,
=z
p
y
z
x
p
y
z/¬x,
=¬x/z
p
y
x
z
p
z
p,
=x
y
z
¬p
x/y
z
p
z,
Пусть (
)
– набор логических переменных,
- набор нулей и единиц.
Конституентой
единиц набора
называется конъюнкт:
.
Конституентой
нуля набора
называется дизъюнкт:
.
Отметим, что
(
)
тогда и только тогда, когда
.
Совершенной ДНФ
называется дизъюнкция некоторых
конституент единиц, среди которых нет
одинаковых, а совершенной КНФ называется
конъюнкция некоторых конституент нуля,
среди которых нет одинаковых. Таким
образом, СДНФ (СКНФ) есть ДНФ (КНФ), в
которой в каждой конъюнкт (дизъюнкт)
каждая переменная
из набора (
)
входит ровно один раз, причем входит
либо сама
,
либо ее отрицание
.
Пример 1-8.
Формула
есть конституента единицы
;
формула
есть конституента нуля
;
формула
- СДНФ, формула (
)
- СКНФ.
Для решения задачи
нахождения СДНФ и СКНФ, эквивалентных
исходной формуле
,
предварительно рассмотрим разложения
булевой функции
по
переменным
(для определенности по
)
–разложения Шеннона.
Теорема 4 (первая
теорема Шеннона).
Любая булева
функция
представима
в виде разложения Шеннона:
.
п
ри
для
булевой функции
,получаем
ее представление в виде совершенной
ДНФ:
.
В силу принципа двойственности для булевых алгебр справедлива:
Теорема 5 (вторая
теорема Шеннона). Любая
булева функция
представима
в виде разложения Шеннона:
12
=y
p
x
z
p
y/¬p
x
z,
=p
x
z
y
p/¬z
y
x
y,
=x/p
y
x
¬p
z
y
z
y,
=¬p
z
x
y
(z
p
x)/y
p,
=z
x
y/x
p
¬x
z
p
x,
=p
x
¬y
z/p
p
x
z
y,
=z/p
x
p
y
x
p
y
¬z,
=p
¬x
z
y
p
z/x
z
y,
=x
¬p
z
y
z
p/x
z
x,
=x
z
¬p/y
z
p
y
x
z,
=¬x
z
p
¬y/x
p
x
y
z,
=y
p
x/z
y
p
x
z
¬x,
=p
x
y/z
p
x
¬z
y
z,
=x
y
z
¬p
z
y/z
p
x,
=y/z
x
p
x
z
y
¬z
p,
=x
y
z
x
y
p
z
¬y/x,
=z
p
x
(p
z)/z
y
p
¬x,
=p/x
z
y
x
p
¬z
y
x,
=¬x
y
z
p
x
y
z/p
x,
=z
p
x
y
z
p
x
y/¬x,
=¬p
x
z
y/p
x
y
p
x,
=y
x
¬z
p/y
x
p
z,
=y
x
y
p
z/x
¬y
x
z,
=x
y
z
¬p
x
z
y
p/x,
=z/y
p
x
y
¬z
x
p
y,
=y
x
p
¬z
x
y/z
p
z,
=p
x
z
y
¬x
z/p
y
x,
=x
y
z
p/x
¬y
z
p
x,
29
=x
y
z
p/x
¬y
z
p
x,
Функции дизъюнкции и конъюнкции могут быть выражены через импликацию следующим образом:
(1 – 19)
Для функций Шеффера и Вебба имеет место переместительный закон:
;
.
Сочетательный закон для них несправедлив:
;
Имеют место следующие очевидные соотношения:
(1 – 20)
Выражение функции
Шеффера и Вебба в базисе {
}:
(1 – 21)
Функции Шеффера и Вебба связаны между собой соотношениями, аналогичными формулам де Моргана для функций конъюнкции и дизъюнкции:
(1 – 22)