Метод неопределенных коэфициентов

Применение этого метода для минимизации выражений ФАЛ в классическом базисе было рассмотрено в главе 1. Покажем теперь, что его можно применить для этой же цели и в базисе Вебба, если только учитывать особенности этого базиса. Как и в классическом базисе, запишем функцию с неопределенными коэффициентами для случая трех переменных:

Получаем систему из 2³ уравнений для определения неизвестных коэффициентов. При нахождении их следует помнить, что обращение в единицу некоторого выражения, стоящего при неизвестном коэффициенте, требует обращения в нуль всех аргументов этого выражения.

Пример 2-2. Найти минимальную нормальную форму для функции из примера 2-1.

Переходя к системе уравнений с неопределенными коэффициентами для данной функции, получаем:

С учетом того, что все коэффициенты для уравнений, у которых в левой части стоит единица, равны нулю, преобразуем исходную систему к следующему виду:

Как следует из этой системы, . Наиболее экономное решение для двух оставшихся уравнений ,.

Окончательно

Метод квайна.

Метод Квайна для минимизации ФАЛ в классическом базисе был рассмотрен в главе 1. Все сказанное там о принципах метода и последовательности выполнения этапов минимизации остается в силе. Только здесь неотмеченные минитермы будут простыми инверсантами функции и необходимо учитывать возможное вырождение минитермов, сопровождающееся инвертированием оставшейся переменной.

Пример 2-3. Найти минимальную нормальную форму для следующей совершенной нормальной формы функции:

Минитермы третьего ранга

Используем соотношение (2-10) и производим все возможные неполные склеивания между этими минитермами. Минитермы, которые учавствовали хотя бы в одном склеивании, отмечаем звездочкой, так как они в дальнейшем будут поглощены минитермом второго ранга, являющимся результатом склеивания на основании соотношения (2-11). Получим минитермы второго ранга

В результате склеивания между первым и последним минитермом получиться вырожденный минитерм, который инвертируется. Тот же самый результат получится из склеивания третьего и четвертого минитермов. Не будет поглощаться только второй минитерм.

Минитерм первого ранга .

Удаляя из нормальной формы все поглощающиеся инверсанты, получаем сокращенную нормальную форму, содержащую только простые инверсанты:

.

Для данного примера сокращенная нормальная форма совпадает с минимальной и построение таблицы меток, и поиск минимального покрытия не дает ничего нового. Отметим, что построение таблицы и операции с нею полностью аналогичны работе с таблицей Квайна. Единственная разница состоит в том, что вырожденная инверсанта, состоящая из единственной переменной, поглощает те минитермы, которые содержат ее отрицание. Для нашего примера для строки, соответствующей инверсанте , мы должны расставить метки в столбцах, которые содержат в соответствующем им выражении .

Метод мак-класки

Усовершенствование первого этапа метода Квайна, предложенное Мак-Класки, применимо и в базисе Вебба. Напомним,что в методе Мак-Класки применяются двоичные номера минитермов. Если принять номер минитерма совпадающим с двоичным номером набора значений переменных, на котором минитерм, являющийся характеристической функцией единицы, принимает значение единицы, или минитерм, являющийся характеристической функцией нуля, принимает значение нуля, то, очевидно, применение метода Мак-Класки не зависит от базиса.

Пример 2-4. Найти минимальную нормальную форму функции,

принимающей значение нуль на наборах с номерами 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14.

Воспользуемся случаем показать одну возможность табличного расположения минитермов, преимущество которого состоит в большей наглядности. В этой таблице минитермы одного ранга образуют столбец, а различные группы выделены горизонтальными линиями.

Составление таблицы начинается с первого столбца для минитермов четвертого ранга, которые соответствуют нулям функции. Слева показаны номера групп только для этого столбца.

По неотмеченным наборам строится сокращенная нормальная форма, учитывая что нулю в наборе соответствует x_i , а единице – .

Как и в предыдущем примере, единственная переменная вырожденного минитерма инвертируется: .

группа	Ранг
	4	3	2	1
0	0000*	00-0*	0- -0*	---0
	0010*	0-00*	-0-0*
1	0100*	-000*	--00*
	1000*	0-10*	--10*
	0110*	-010*	-1-0*
2	1010*	01-0*	1- -0*
	1100*	-100*
3	1101*	10-0*
	1110*	1-00*
		-110*
		1-10*
		110-
		11-0*

В данном случае сокращенная нормальная форма совпадает с минимальной: .

Если бы этого не было, то пришлось бы строить таблицу инверсант и производить расстановку меток обычным способом.

Рассмотрим теперь второй из подходов к минимизации, о котором мы говорили выше. Напомним, что в этом случае минимизация проводится в классическом базисе, а затем полученное минимальное выражение переводится в монофункциональный базис таким образом, чтобы по возможности сохранялась минимальность.

Поясним сказанное на примере 2-5.

Пример 2-5. Найти минимальную нормальную форму в моно-функциональном базисе для функции из примера 2-4 по второму из подходов к минимизации ФАЛ:

1-й шаг – сначала найти МДНФ исходной ФАЛ в базисе {-, &,};

2-й шаг – перевести полученную МДНФ в заданный моно-функциональный базис.

Решение

1-й шаг. Для заданной ФАЛ по одному из методов минимизации (например, карт Карно, глава1) находим МДНФ:

.

2-й шаг. Применяя к полученному на 1-м шаге выражению эквивалентные преобразования из соотношения (2-1), получаем:

Полученное выражение совпадает с решением в примере 2-4.

Замечание 2-1. Следует подчеркнуть, что и при втором подходе задача минимизации для монофункциональных базисов в общем виде пока также не нашла еще своего решения.