Глава 1. Рекурсивные и примитивно-рекурсивные функции

1. Обозначения

- множество натуральных чисел,

- пустое множество,

- универсальное множество или универсум,

,

.

Если имножества, то булеан.

На булеане определим операции над множествами:

- объединение множеств и,

- пересечение множеств и,

- разность множеств и,

- симметрическая разность,

- дополнение множества ,

- множество всех пар натуральных чисел,

- множество всех -ок натуральных чисел.

2. Примитивно рекурсивные функции

Мы будем изучать частные числовые функции , , т.е. функции, определенные на некотором подмножестве с натуральными значениями.

Определение 1. Для любыхи функцийипишем, если значенияине определены или эти значения определены и совпадают.

Определение 2.- местная функцияназываетсявсюду определенной, если, где- область определения функции.

Следующие всюду определенные функции назовем простейшими:

1. Функция непосредственного следования -.

2. Функция, тождественно равная нулю -.

3. Функция выделения переменных -(при).

Определение 3.Будем говорить, что функцияполучается с помощью оператора суперпозиций (или подстановки) из функций,, то есть.

Определение 4.Скажем, что функцияполучается из функций и с помощью оператора примитивной рекурсии, где, т.е. если она может быть задана схемой примитивной рекурсии:

Для схемапримитивной рекурсии имеет следующий вид:

где - постоянная 0-местная функция, равная числу.

Определение 5. Функцияназывается примитивно рекурсивной (п.р.ф.), если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.

Пример 1. В качестве примера применения операции примитивной рекурсии покажем, как при помощи этой операции из элементарных функций можно построить двухместную функцию суммирования.

Эта функция определяется с помощью тождественной функции и функции непосредственного следования.

В самом деле:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Покажем, что функция удовлетворяет соотношениям- тождественная функция;- функция непосредственного следования.

Следовательно, функция возникает из примитивных рекурсивных функцийиоперацией примитивной рекурсии, и поэтому функцияпримитивно рекурсивная.

Пример 2. Двухместная функцияудовлетворяет схеме примитивной рекурсии:

с начальными примитивно рекурсивными функциями и. Поэтому функция- примитивно рекурсивная.

В области натуральных чисел разность естественно считать частичной двухместной функцией оти, определенной лишь для, так как отрицательные числа не входят в рассматриваемую область. Но примитивно рекурсивные функции всюду определены (см. теорему ниже). Поэтому в теории примитивно рекурсивных функций вместо обычной разности вводят усеченную разность, обозначаемую следующим образом∸и определяемую так:

Определение 6.

∸

В отличие от простой разности усеченная разность в области натуральных чисел всюду определенная, и в то же время она очень просто связана с обычной разностью.

Так, например, согласно определению имеет место∸∸∸. Функция∸удовлетворяет примитивно рекурсивной схеме

∸

∸

с примитивно рекурсивными начальными функциями и.

Поэтому функция ∸примитивно рекурсивная.

С другой стороны, из () следует, что для любых,

∸

∸

∸

∸

Эти тождества показывают, что двухместная функция возникает примитивной рекурсией из и

Обе последние функции примитивно рекурсивны, поэтому и ∸примитивно рекурсивная.

Теорема 1.Все примитивно рекурсивные функции всюду определены.

Доказательство.Доказательство проведем индукцией по глубине вхождения функций и операторови, где- оператор суперпозиции,- оператор примитивной рекурсии.

Для простейших функций иположим, что, гдепроизвольное натуральное число. Тогда;, то естьивсюду определены, так каквзято произвольно.

Возьмем произвольно . Тогда, то есть простейшая функциятакже всюду определена.

Докажем всюду определенность функций, полученных оператором суперпозиции , где- всюду определены.

Пусть для произвольных иимеет место

и.

Тогда , то есть, гдевзяты произвольно, следовательно, функция- всюду определена.

Оператор примитивной рекурсии в общем виде записывается так:

Положим, что ивсюду определены.

Докажем, что всюду определена.

Выберем произвольный кортеж так, что,.

Доказательство проведем индукцией по .

Индуктивный шаг.

-^йшаг,

-^йшаг.

0-й и 1-й шаги проверены.

Индуктивное предположение

Пусть на шаге определена и равна.

Покажем, что в этом случае авна 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000также определена, то есть равна некоторому. В самом деле,

.

Теорема доказана.