2. Разрешимость проблем распознавания и классификации.

Рассмотрим множество , которое допускает редукцию к натуральным числам.

Определение 1. Пара , где- некоторое множество, а- отображениев множество натуральных чисел, называетсямножеством конструктивных объектов.

Если при этом есть разнозначное отображение, т.е., то будем говорить, что- множество сильно конструктивных объектов.

Пусть множество разбито наклассов, а.

Вопрос о существовании алгоритма, позволяющего по некоторой стандартной записи произвольного натурального числа определить: принадлежит ли оно классу (образу) , назовем проблемой распознавания (вхождения) для.

Приведем некоторые критерии разрешимости проблемы распознавания для произвольного подмножества натурального ряда:.

Предложение 1. Проблема распознавания для разрешима тогда и только тогда, когда- рекурсивное множество.

Предложение 2. (Критерий Поста). Проблема распознавания для разрешима тогда и только тогда, когдаирекурсивно перечислимы.

Прежде чем ставить проблему классификации для тройки , где- множество конструктивных объектов, а— разбиение множества, рассмотрим понятие вычислимой функцииотносительно семействамножеств натуральных чисел.

Здесь - множество всех подмножеств натуральных чисел.

Определение 2. Будем говорить, что функция вида,вычислима относительно, если для любогоза конечное число шагов указывается множество номеров элементов из, для которых характеристическая функция в точкеобращается в ноль.

Лемма 1. Функция вычислима относительнотогда и только тогда, когда— конечно и для любого— рекурсивное множество.

Пусть дано некоторое множество конструктивных объектов с разбиениеми функцией.

Определение 3. Вопрос о том, существует ли вычислимая относительно функциятакая, что диаграмма

коммутативна, т.е. и выполнимо условиеназываетсяпроблемой классификации для тройки .

Приведем некоторые критерии и оценки разрешимости указанной проблемы.

Предложение 3. (общий случай). Проблема классификации для тройки , где— множество конструктивных объектов, а— конечное разбиение, разрешима тогда и только тогда, когда для любого— рекурсивные множества.

Доказательство. Очевидно, что для любого вычислима относительнов силу того, чторекурсивны и- конечное множество, т.е. выполнены условиялеммы 1.

Покажем, что для любого имеет место.

В самом деле, подставляя вместов определении функции, имеем.

Следствие 1. Пусть множество конструктивных объектов таково, что конечно. Тогда каково бы ни было конечное разбиениемножества, проблема классификации для тройкиразрешима.

Доказательство. Так как конечно, то и любое подмножество, где, конечно, а следовательно, и рекурсивно. Таким образом, условия предложения 3 выполнены для произвольного разбиениямножества. Отсюда проблема классификации для тройки разрешима.

Предложение 4. Пусть множество конструктивных объектов таково, чторекурсивно перечислимо, но не рекурсивно. Тогда ни для одного конечного разбиениямножествапроблема классификации для тройкинеразрешима.

Доказательство. Предположим, нашлось конечное разбиение семействатакое, что проблема классификации для тройкиразрешима. Тогда, так какконечно, а для каждого— рекурсивны по предложению 3, торекурсивно.

Противоречие. Предложение доказано.

Приведем дополнительные оценки разрешимости проблемы классификации для тройки , когда- множество сильно конструктивных объектов.

Для любого множества сильно конструктивных объектов разбиениемножествас помощьюиндуцирует наразбиение, поскольку отображениеравнозначно.

В силу этого из предложения 3 вытекает

Следствие 2. Пусть имеется множество сильно конструктивных объектов и разбиениетаково, что все,рекурсивно перечислимы и.

Тогда проблема классификации для тройки разрешима.

Доказательство. Так как — разнозначное отображение, то разбиениюсоответствует разбиение, т.е. при.

Применяя теорему Поста, имеем — рекурсивные множества, т.е. выполнены условия предложения 3 и проблема классификации для тройкиразрешима.

Следствие З. Пусть — множество сильно конструктивных объектов, и даны два разбиенияимножестватакие, что существует функция, гдеи имеет место

Тогда, если проблема классификации для тройки разрешима, то для тройкиона также разрешима.

Доказательство. Пусть для тройки проблема классификации разрешима и выполнены условия следствия 3. По предложению 3- рекурсивные множества. Но по свойству-сводимости будем иметь для каждого— рекурсивные множества. Отсюда по предложению 3 получаем, что проблема классификации для тройкиразрешима.

Поставленная таким образом задача классификации допускает многоальтернативное решение в том смысле, что функцию можно рассматривать как частичное многозначное отображение. Значения этого отображения и являются альтернативами при принятии окончательного решения: к какому классу (образу) принадлежит предъявляемый объект .

Одним из условий сокращения альтернатив, то есть получения однозначного решения задачи классификации, является требование к функции обладать разнозначностью: тот случай, когда— сильно конструктивные объекты.

Более общим условием однозначного принятия решений является требование попарного непересечения множеств идля, где- разбиение множества.