3. Теорема о редукции.

Теорема (о редукции): Если и, рекурсивно перечислимые подмножества такие, что, то существует рекурсивное множествотакое, чтои.

Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что инепусты. Тогда существует две о.р.ф.,такие, чтои.

Определим функцию так: для любого. Из условияследует, чтовсюду определено, следовательно,общерекурсивна. Полагаем.

Без труда проверяется, что удовлетворяет заключению теоремы.

Из теоремы о редукции вытекает:

Следствие. (Пост). Пусть и— рекурсивно перечислимые подмножестватакие, чтои.

Тогда и— рекурсивные множества.

В самом деле, в силу дополнительно введенного условия достигается равенствои. Откуда и следует справедливость следствия.

Теорема Поста. (Общий случай). Пусть рекурсивно перечислимые подмножества натурального рядатакие, чтоидля любых. Тогда- рекурсивные множества.

Техника доказательства обобщенной теоремы Поста непосредственно следует из доказательства теоремы о редукции и ее следствия.

Примеры.

1. Доказать, что отношение рекурсивно и транзитивно.

2. Доказать, что если и - рекурсивное множество, то и — рекурсивное множество.

3. Доказать, что если и рекурсивно перечислимо, то — рекурсивно перечислимо.

4. Доказать, что всякое рекурсивное множество m-сводимо к любому непустому множеству непустым дополнением.

5. Доказать, что если m-сводимо к рекурсивному (рекурсивно перечислимому) множеству, то рекурсивно (рекурсивно перечислимо).

6. Доказать, что каждое m-универсальное множество не рекурсивно.

7. Показать, что всякая m-степень имеет самое большее m-степеней, предшествующих ей относительно упорядочения по m-сводимости.

8. Показать, что всякая m-степень имеет самые большее множеств. Содержит ли какая-нибудь из нихмножеств?

9. Доказать, что для любого рекурсивно перечислимого множества существует примитивно рекурсивная функциятакая, что

.

10. Доказать, что если - креативное множество,ирекурсивно перечислимо, токреативно.

11. Доказать, что каждое креативное множество не рекурсивно.

12. Доказать, что - рекурсивно.

13. Доказать, что если ирекурсивно перечислимы, то

Глава 7. Нумерованные совокупности.

1. Нумерации множества.

Пусть — произвольное множество. Назовем нумерацией множествапроизвольное отображениена. Множество с нумерацией называетсянумерованным. Другими словами, нумерованное множество — это пара (), где- множество, а- некоторая нумерация этого множества.

Пусть — множество,- его непустое подмножество. Пусть— нумерация множества, а- нумерация множества. Будем говорить, чтосводится (1-сводится) к, если существуеттакая, что, тоназываетсясводящей функцией. Символически это отношение будем записывать так: ,

Если и, то будем называть нумерациииэквивалентными. Символически . Назовем две нумерациии, множестваизоморфными, если существует общерекурсивная перестановка натурального рядатакая, что имеет место. Еслии, изоморфны, то будем обозначать это так:.

Отметим, что отношения итранзитивны и рефлексивны, а отношенияитранзитивны, рефлексивны и симметричны.

2. Некоторые теоремы о нумерациях множеств

Теорема 1. Пусть и— две нумерации множества. Еслии, то.

Нумерация называется однозначной, если изследует.

1. Если и— две нумерации множества,- однозначная нумерация и, то. Если, кроме того,однозначна, то.

Действительно, пусть — функция, которая сводитк. Тогдаипринимает каждое натуральное число как значение, другими словами. Функцияи, очевидно, сводитк. Еслииоднозначны, то— общерекурсивная перестановка натурального ряда.

2. Если и— две нумерации;— однозначная нумерация, то изследует.

На самом деле любая функция , сводящаякбудет из. Действительно, если, то изследует. Из однозначности нумерацииследует, что.

Теорема 2. Существуют эквивалентные, но неизоморфные нумерации.

Определим теперь верхнюю полурешетку всех классов эквивалентных нумераций множества. Пусть— класс всех нумераций множества. Отношениеопределяет наотношение эквивалентности.— это множество всех классов эквивалентных нумераций. Наопределим частичный порядокследующим образом:, если и только если:. Очевидно, что это определение корректно, то есть не зависит от выбора представителейииз классов эквивалентных нумераций.

Пример 1. Если , тоизоморфна верхней полурешетке-степеней собственных подмножеств множества натуральных чисел.

Определим теперь операцию на классе всех нумераций множества. Пустьи— две нумерации. Положим

Этим определяется нумерация множества.

Нумерацию , назовемпрямой суммой нумераций и.

Теорема 3. Пусть - три нумерации.тогда и только тогда, когдаи.

Доказательство. Пусть сводитк, тогда имеем, и следовательно, функциясводитк.

Аналогично, функция сводитк. Наоборот, пустьсводитк, асводитк. Полагаем:

Тогда имеем:

Следовательно, сводитк.

Следствие 1. Частично упорядоченное множество является верхней полурешеткой.

Действительно, операция является операцией взятия наименьшей верхней грани в.