2. Кодирование всех-ок.

Положим . Определим кодирование, которое отображаетвзаимно однозначно на:

Определение 1.

3. Нумерация конечных множеств.

Определение 1. Пусть — непустое конечное множество, где. Тогда числоназываетсяканоническим индексом множества . Если, канонический индекс, приписываемый, есть.

Определение 2. Обозначим через конечное множество, канонический индекс которого есть.

Очевидно, всякое конечное множество имеет единственный канонический индекс и каждое натуральное число есть канонический индекс некоторого конечного множества. Если записано в двоичной системе счисления, элементы множествазадаются расположением единиц; точнее, для всех– есть элемент множества, если "1" появляется в качестве-го знака справа в двоичном разложении.

Пример 1. Что такое ? В двоичной системе счисления 1З есть 1101; единицы появляются на первом, третьем и четвертом местах (справа). Следовательно, .

4. Нумерации Клини и Поста.

Обозначим через следующие равенства:

где функции определены в §1, а- универсальная функция для семейства всех одноместных частично рекурсивных функций:.

Функцию называютклиниевской нумерацией функций и, если для всех, то называем—клиниевским номером функции и обозначаем, т.е.

Отображение , где- семейство всех одноместных частично рекурсивных функций, называетсяклиниевской нумерацией семейства . Аналогично определяется клиниевская нумерация-местных частично рекурсивных функций.

Если рекурсивно перечислимое множество есть совокупность значений функциидля некоторого, то числоназовемпостовским номером множества и обозначим.

Отображение , где— семейство всех рекурсивно перечислимых множеств, называетсяпостовской нумерацией семейства .

5. Нумерация семейства всех двухэлементных множеств.

Рассмотрим семейство

Пронумеруем элементы этого семейства следующим образом:

Рис. 1.

Обозначим через номер парыв этой нумерации.

Тогда

Пусть ,, где. Тогдаиможно выразить с помощью частично рекурсивных функций:

Правый элемент:

Левый элемент:

Глава 6. Степени неразрешимости.

1. - Сводимость.

Пусть - множество всех одноместных общерекурсивных функций;- множество всех одно-однозначных общерекурсивных функций.

Будем говорить, что множество - сводится к(символически), если существуеттакая, что для любого.

Всякую функцию , удовлетворяющую этому условию, называютсводящей (к). Еще говорят, что-сводитк.

Укажем ряд свойств введенных понятий:

1. -сводитк.

2. Если — рекурсивное (рекурсивно перечислимое) множество и, торекурсивное (рекурсивно-перечислимое) множество.

3. Если - рекурсивное множество и— собственное подмножество (то естьи), то.

4. .

5. и.

Если и, то говорят, чтои-эквивалентны ().

Из указанных выше свойств отношения без труда следует, что отношениеесть отношение эквивалентности на множествевсех подмножеств.

2. - Степени.

Пусть .m-степенью множества назовем класс.

На множестве всех -степеней собственных подмножеств, которое обозначим черезвведем частичный порядоктак:

.

Справедливы следующие свойства:

1. содержит наименьший элемент — степень, состоящую из собственных рекурсивных подмножеств.

2. , как частично упорядоченное множество, является верхней полурешеткой, то есть для любых двух элементовизсуществует их точная верхняя грань ().

3. Если , то имеет место равенство.

Если существует функция m-сводящая к, то говорят, что1-сводится к ().

Аналогично определяются понятия 1-эквивалентности и 1-степени.

Одноместную общерекурсивную функцию назовемрекурсивной перестановкой N, если и.

Множества иназываютсярекурсивно изоморфными (), если существует рекурсивная перестановкатакая, что.