3. Рекурсивно перечислимые множества.

Определение 1. Множество рекурсивно перечислимо, если илиили существует общерекурсивная функциятакая, чтоесть множество значений функции, то есть,.

На интуитивном уровне, множество рекурсивно перечислимо, если существует эффективная процедура для перечисления (возможно с повторениями) его элементов.

Непосредственная связь между рекурсивностью и рекурсивной перечислимостью устанавливается следующими теоремами.

Теорема 4. - рекурсивно- рекурсивно перечислимо.

Доказательство. Случай 1. . Тогдарекурсивно перечислимо по определению.

Случай 2. - конечно и . Пусть. Определимследующим образом:

Случай 3. - бесконечно. Пусть — характеристическая функция множества. Определимтак:

В случаях 2 и 3 функция общерекурсивна, согласно тезису Чёрча и.

Теорема 5. рекурсивно  как , так ирекурсивно перечислимы.

(=>) Следует немедленно из теоремы 4, так как рекурсивно => рекурсивно.

(<=) Если или пусто, рекурсивность множества очевидна. Если ни одно из множеств и не пусто, то для некоторых общерекурсивных функцийии. С привлечением функций и может быть описана рекурсивная процедура, позволяющая распознавать принадлежность числамножеству: а именно, пусть на принадлежность множеству исследуется .

Просматриваем по очереди , , ,,…

Если оказывается значением функции, то, если, то.

На более интуитивном уровне эта процедура может быть описана следующим образам: одновременно порождаются списки для множеств и; в то же самое время осуществляется зигзагообразный поискв двух списках. Когда-тодолжно появиться. Список, в котором появляется, определяет, принадлежитмножествуили множеству.

Обращение теоремы 4 места не имеет и, следовательно, согласно теореме 5 возможно рекурсивно перечислимое множество, дополнение которого рекурсивно перечислимым не является.

Таким будет - креативное множество.

4. Основная теорема.

Следующая теорема выявляет еще одну особенность рекурсивной перечислимости. Это простой, но важный результат.

Теорема 6. (основная теорема о рекурсивно перечислимых множествах). - рекурсивно перечислимо есть область определения частично рекурсивной функции, то есть.

Доказательство. (=>)

Случай 1. . Пустьесть нигде не определенная частично рекурсивная функция. Тогда.

Случай 2. . Тогдаесть множество значений некоторой общерекурсивной функции. Зададимследующими инструкциями: чтобы вычислить, порождайте множество значений функции; если и как толькопоявится во множестве значений, тотчас выдайтена выход. Очевидно, чточастично рекурсивна и.

(<=) Пусть , где— частично рекурсивная функция. Определим эффективную процедуру, которая будет порождать, еслине пусто. Процедура осуществляется по этапам.

Этап 1. Выполните 1-й шаг в вычислении . Если процесс вычислениязавершается на первом шаге, поместите “0” в список для.

Этап n + 1. Выполните по шагу в вычислении,, …,. Те , , для которых процесс вычисления завершается на-м шаге или ранее, добавьте в список для.

Теперь определим следующим образом:

- первый элемент пересчета;

Согласно тезису Чёрча, есть частично рекурсивная функция. Если, торекурсивно перечислимо по определению.

Если , то по построениювсюду определена и. Таким образом, множество— рекурсивно перечислимо.

Введем теперь в качестве имён рекурсивно перечислимых множеств индексы соответствующих частично рекурсивных функций.

Определение.

Будем называть рекурсивно перечислимым индексом или гёделевым номером рекурсивно перечислимого множества . Заметим, что всякое рекурсивно перечислимое множество имеет бесконечно много рекурсивно перечислимых индексов. Из доказательстватеоремы 3 вытекает:

Следствие 1. A рекурсивно перечислимо  есть множество значений частично рекурсивной функции (т.е.)

Доказательство (=>).

Случай 1. Аналогичен соответствующему случаю в доказательстве теоремы.

Случай 2. Функция , построенная при доказательстве теоремы, пригодна и здесь, так как.

(<=) Как и прежде, за тем лишь исключением, что теперь к ранее образованному списку для добавляются по этапам не входы, а выходы.

Итак, есть область определения частично рекурсивной функции тогда и только тогда, когдаесть множество значений частично рекурсивной функции. Приведем следствие, выражающее этот факт в более сильной форме.

Следствие 2. Существуют общерекурсивные функции и, такие, что для всех:

Доказательство. Установим существование функции . Для любого данногоx определим:

Очевидно, что . Так как инструкции длязависят отравномерно эффективным образом, тодля некоторой общерекурсивной функции.

Установим существование функции .

Пусть дан , зададим порождающую процедуру, подобную процедуре, описанной при доказательстве теоремы 3, но отличающуюся от нее тем, что перечисляются выходы, а не входы, и ещё тем, что рольтеперь играют. Определим

Очевидно, что . Так как инструкции дляравномерно эффективно зависят от, тодля некоторой общерекурсивной функции.

Теорема 6 даёт действенный метод, позволяющий устанавливать рекурсивную перечислимость. Докажем, что множество рекурсивно перечислимо. Дадим сначала этому множеству специальное имя.

Определение. .

Отныне буква будет служить именем этого множества.

Теорема 7. Существует рекурсивно перечислимое, но не рекурсивное множество, и является таковым.

Доказательство. Положим:

Очевидно, что функция частично рекурсивна и. Следовательно, согласно теореме 6, множестворекурсивно перечислимо.

Докажем, что не рекурсивно.

Предположим противное. По теореме 5 для некоторого. Тогдапо определению, однаков силу выбора. Полученное противоречие показывает, чтоне может быть рекурсивным.

Teopeмa 8. Если частично рекурсивно ирекурсивно перечислимо, торекурсивно перечислимо.